Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
#12 (V) = 0, Yi2(T2-Ti) = O. (5.3.12)
Но это слишком жесткое требование.
Очевидно, что условие (5.3.11) не может выполняться в самом общем случае, поскольку первый член в левой части равенства неограниченно осциллирует при уменьшении (т2 — ті), а второй стремится к нулю. Поэтому нам нужно, по-видимому, наложить некоторые ограничения на разность задержек, чтобы добиться приближенного выполнения данного условия. Запишем разность задержек в виде
t2- t1 = t0 -|_дт (5.3.13)
и будем пока что считать величину то произвольной, а величину Лт намного меньшей 1/Av, где Av — ширина полосы света. Будет ли при таком ограничении выполняться требуемое равенство?
Можно показать, что в малом интервале допускаемых значений величины At выполняется соотношение
Yi2(Tt) + AT) И YI2 (то) exP {— /2лV AT}, (5.3.14)
где V — центральная частота взаимного спектра ^f12 (v). Доказательство этого утверждения таково. Нужно:
1) написать
OO
Yi2(t0 + At) = J 1Sf12(V) е-'2™ <T°+AT>dv; (5.3.15)
о
2) положить V = V + 6v (— Av/2 < 6v < Av/2);
3) приближенно написать ехр (— j2n6v At} « 1.
Все это дает формулу (5.3.14). Подставив это приближенное выражение для уіг(то + Ат) в формулу (5.3.11), получим следующее соотношение, которое должно выполняться, если мы хотим, чтобы нормированный спектр двух налагающихся световых пучков был равен нормированному спектру каждого из исходных пучков:
^12 (v) е-1™™ = y12 (то) § (v). (5.3.16)
Прежде чем продолжать, сделаем некоторые замечания. Читатель может спросить, может ли вообще выполняться равенство (5.3.16), левая часть которого осциллирует с частотой v из-за Когерентность оптических волн
185
наличия экспоненциального множителя, а правая будет неосцил-лирующей при любой монотонной функции §(v). Вообще говоря, это возражение справедливо, но оно может быть снято, если мы правильно выберем задержку то. В самом деле, если задержки, приобретаемые светом на своем пути от источника до двух отверстий, различаются более чем на 1/Av, то взаимный спектр ^12 (v) сам будет осциллирующим (см. далее). Но если разность задержек то, приобретаемых после прохождения отверстий, выбрать так, чтобы компенсировать задержки, приобретаемые светом на пути к отверстиям, то экспоненциальный множитель в правой части равенства (5.3.16) будет точно компенсировать осцилляции самой функции Ibr12 (v). Поэтому, чтобы обеспечивалось равенство в соотношении (5.3.16), задержка То должна быть выбрана так, чтобы полные задержки от источника до плоскости наблюдения были одинаковы. Иначе говоря, величину то следует выбрать так, чтобы была максимальна величина Yi2 (то) •
Утверждение о том, что взаимная спектральная плотность ^12(V) может быть сама осциллирующей, лучше всего проиллюстрировать на примере двух световых пучков в точках Pі и P2, которые совершенно идентичны, но имеют относительную задержку т. Предположим, что один пучок приобрел опережение на т/2, а второй — запаздывание на т/2. Оба пучка имеют один и тот же спектр мощности ®(v). Задержки во времени могут быть учтены и в выражениях для передаточных функций в частотном представлении. Соответствующие передаточные функции имеют вид
Hi(v) = expr+/2nv4-l (запаздывание на т/2),
Lr Л (5.3.17)
H2 (v) = ехр I — /2яу у I (опережение на т/2).
На основании выражения (3.5.8) для взаимной спектральной плотности двух линейно-отфильтрованных случайных процессов мы получим нормированную взаимную спектральную плотность
^12 (v) = § (V) ехр {/2ялНс}, (5.3.18)
которая имеет осциллирующий множитель. Таким образом, мы видим, что если на пути до отверстий пучки приобретают относительную задержку, то взаимная спектральная плотность светового поля будет иметь осциллирующий множитель и при надлежащем выборе задержки то в формуле (5.3.16) этот осциллирующий множитель будет скомпенсирован. 186
Глава З
Заметим, что, как нетрудно показать, суперпозиция двух идентичных световых лучей, имеющих лишь относительную задержку т, приводит к новому нормированному спектру §'(v) вида
(V) = If (v)[l + cos 2 л VT]. (5.3.19)
-\i
У
»9 H
,гіщу)
Такой спектр представлен на рис. 5.14. Ясно, что, если задержка т удовлетворяет условию т > 1/Av, новый спектр будет
иметь интерференционную структуру и, следовательно, будет отличаться от первоначальных спектров компонент. (Спектральные интерференционные структуры такого типа использовались Олфордом и Голдом [5.26] при измерении скорости света.) Чтобы достигнуть взаимной спектральной чистоты света, нужно устранить такую спектральную интерференционную структуру путем подходящего выбора величины То.
Выбрав должным образом параметр задержки то и потребовав, чтобы параметр задержки At был намного меньше 1/Av, мы можем добиться выполнения равенства (5.3.16). Рассмотрим форму этого равенства во временном, а не в частотном представлении. Обратное преобразование Фурье обеих частей этого равенства приводит к соотношению
-Av-
-H
Рнс. 5.14. Спектры мощности &Q(v) и 2IS (v), обнаруживающие отклонение от взаимно спектральной чистоты.
