Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
яб
Xf
)
яб
Xf
V*2 + уг
X
X {l +Hi2X
Xcos[^(A|* +Any)+ Q12JJ.
Рис. 5.13. Фотография интерференционной картины [5.36].
(5.2.44)
Заметим,что такая оптическая система обеспечивает не только полное перекрывание двух дифракционных картин, но и сокращение фазового
множителя (я/A./) (р2 — P2). На рис. 5.13 представлена фотография интерференционной картины, полученной при помощи такой системы. Здесь видность полос одинакова во всех точках интерференционной картины.
§ 3. Взаимная спектральная чистота
Многие задачи теории когерентности упрощаются, если комплексная степень когерентности рассматриваемого излучения может быть представлена в виде произведения компоненты, зависящей только от пространственных координат, и компоненты, зависящей только от временной задержки. Такая функция когерентности называется приводимой. Это условие, как мы увидим, эквивалентно некоторому условию в спектральном представлении, называемому условием взаимной спектральной чистоты. Данное понятие было введено Манделем [5.25]. Для большей ясности мы сначала (п. А) рассмотрим общую задачу: какова форма полной спектральной плотности мощности при наложении двух разных световых пучков с одинаковой нормированной 182 Глава З
спектральной плотностью мощностью #(v)? Затем мы перейдем к понятию взаимной спектральной чистоты и условиям, при которых она возможна (п. Б). В п. В мы приведем пример светового пучка, который не удовлетворяет требованию взаимной спектральной чистоты.
А. Спектр мощности суперпозиции двух световых пучков
Рассмотрим два узкополосных, статистически стационарных световых пучка, представляемых аналитическими сигналами u (P1, t) и и (P2, ^). Эти волны могут рассматриваться как идущие от двух отверстий в точках P1 и P2 в интерференционном опыте Юнга. Обе волны налагаются друг на друга, приобретя задержки ті и х2, в результате чего возникает световая волна
и (Q, 0 = K1u (P1, t- т,) + K2u (P2, t - х2) (5.3.1)
в фиксированной точке Q.
Предположим, что спектральные плотности мощности волн Ui (0 и и2(0 одинаковы. Математически это означает, что должны быть равны их нормированные спектры мощности [формула (5.1.16)]:
f,(v) = f2(v) A^(v). (5.3.2)
Наша цель — найти соотношение между нормированным спектром в точке Q и нормированными спектрами двух налагающихся пучков.
Рассмотрим сначала функцию (собственной) когерентности света в точке Q. Имеем
rq(t) = (u(Q, / + т) u* (Q, t)} =
= /СіГц (т) + Alr22 (т) + K1K2T12 (т2 - т, + т) +
+ /C1ZC2F21 (T1 - T2 + т), (5.3.3)
где /C1 = IZC1I, /C2 = IZC2I и
Tij (х) = (u, (t + т) и; (/)). (5.3.4)
Вспомнив, что Г21 (т) = Tf2 (— т), мы можем записать Tq (т) в виде
Ге (т) = K2T11 (т) + ZClr22 (т) + KiK2T12 (т2 - т, + т) +
+ ZC1ZC2H2(t2-t1^t). (5.3.5)
Нормируя полученное выражение на Tq(O) и замечая, что, поскольку нормированные спектры обоих пучков одинаковы, их комплексные степени собственной когерентности тоже должны быть одинаковыми, получаем для комплексной степени когерент- Когерентность оптических волн
183
ности в точке Q выражение
/ ч Yn (T) + Л Re (Yi2 (т2 -т, +т)} „ ~ Y«(T) =-1 + Л Re {Yi2 (T2 — г,)}-'
где А — постоянная, которая определяется следующим образом:
-4 = • (5-3-7)
Если перейти к спектральному представлению, то преобразование Фурье функции (5.3.6) дает для нормированного спектра мощности в точке Q выражение
S / ч f (V) + л Re I2 (у) ехр [/2яу (Tl - T2)]) ,г „ оч ^(v) =-1+ЛКе (Yi2 (T2-T,))-• (5-3'8)
Заметим, что знаменатель в выражении (5.3.6) не зависит от т и поэтому не изменяется при преобразовании Фурье. Кроме того, мы использовали здесь соотношение
Г {Re (Y12 (т)}} = Г {2Yf12 г> (т)} = Re (^12 (V)}. (5.3.9)
[Нужно вспомнить формулу (3.8.37) и учесть, что величина I^12 (v) сама является односторонним спектром аналитического сигнала.]
Итак, формула (5.3.8) дает нам спектр комбинированного светового пучка в точке Q. Сравним этот спектр со спектром двух исходных световых пучков.
Б. Взаимная спектральная чистота и приводимость
Пользуясь формулой (5.3.8), мы можем теперь исследовать условия, при которых нормированный спектр if Q (v) суперпозиции двух световых волн равен нормированному спектру t/"(v) компонент. Когда оба указанных спектра одинаковы, говорят, что свет взаимно спектрально чистый-, этот термин заимствован из области генетики и означает, что два прародителя (исходные пучки, которые налагаются друг на друга) дают потомство (новый световой пучок), обладающее теми же свойствами, что и у прародителей, по крайней мере относительно формы рассматриваемой спектральной плотности мощности. Вычислим разность рассматриваемых спектров
& ил & ( Л Л Re {<у12 (V) е-/2Я№-г,)у _ Y (т _ Т|) § (v)}
^Q (V)(v)--1 +л Re (Y12 (T2-T,))-¦ (5-3'1°) 184 Глава З
Чтобы эта разность была равна нулю при всех /<'> и /<2> и не зависела от t2-t1, должно выполняться условие
^12 (v) V _ Y12 (Х2 _ Tl) § (v) = о. (5.3.11)
Это условие может быть выполнено, например, если свет в точках Pі и P2 полностью некоррелироваи при всех T2-Ti- Тогда
