Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
V1 - (v/c)2
Е= , тас2-. (16.17)
V1 - (v/c)2
В этих формулах т - масса тела, a v - скорость тела в рассматриваемой
системе координат. Из этих формул видно, что при v -> с импульс и
434
Глава 16
энергия тела стремятся к бесконечности, так что "разогнать" тело до
скорости, равной скорости света, невозможно (если, конечно, масса тела не
равна нулю; тогда его нельзя остановить).
Из формул (16.16) и (16.17) легко получить:
Е2 - р2 с2 = т2 с4. (16.18)
Эта формула напоминает формулу для интервала. Его роль играет теперь
масса. При переходе из одной системы координат в другую энергия и импульс
тела изменяются. Масса тела (она аналогична интервалу, введенному ранее)
не меняется. Масса является релятивистским инвариантом.
Формула (16.18) играет фундаментальную роль в физике. Мы уже пользовались
этой формулой ранее, а теперь постарались показать, как она возникает. Из
формулы видно, что при нулевом импульсе (у неподвижной частицы) Е = тс2.
Эта величина носит название энергии покоя. Таким образом, импульс покоя
равен нулю, а энергия покоя равна не нулю, а тс2.
Перейдем теперь к системам, состоящим из нескольких частиц. Энергия и
импульс аддитивны. Это означает, что энергия системы равна сумме энергий
составляющих частиц, а импульс системы равен сумме их импульсов:
-Ё'СИСТ = ^ ^ Ej,
Рсист = ^ ^ Рг •
Из этих равенств следует, что масса системы свойством аддитивности не
обладает. Масса двух монет не равна сумме масс этих монет! Она равна ей
только, если монеты неподвижны или движутся друг относительно друга с
небольшими (нерелятивистскими) скоростями.
В самом деле, масса системы равна
Мс2истс4 = Е2ЖТ-Р2ИС1с2 = (Y.Ei)2 - (^>)2с2 Ф
Повторим полученные нами результаты. Энергия и импульс аддитивны, но не
являются релятивистскими инвариантами, а масса является релятивистским
инвариантом, но не аддитивна. Эти утверждения следует запомнить.
Рассмотрим генерацию частиц на ускорителях. Ускоренные до большой энергии
первичные частицы заставляют сталкиваться либо с частицами, находящимися
в неподвижной мишени, либо с частицами, движущимися им навстречу. Первый
из этих способов несравненно проще
§82. Некоторые результаты теории относительности 435
и эффективнее, потому что мишень может быть сделана толстой, и
вероятность столкновения, а значит и вероятность реакции, велика. Во
втором случае ускоренные частицы сталкиваются с разреженным пучком
летящих навстречу частиц, и вероятность соударения крайне мала. Чтобы
повысить ее, нужно приводить в столкновение циркулирующие навстречу друг
другу пучки ускоренных частиц и повторять столкновения многократно.
Насколько отличаются энергии, которые используются для генерации новых
частиц, в этих двух случаях? На первый взгляд, в 4 раза. В первом случае
это половина энергии ускоренных частиц (из-за движения центра инерции), а
во втором - удвоенная их энергия. Так ли это при больших энергиях?
Энергия, выделяющаяся при столкновении, должна рассчитываться в системе
центра инерции сталкивающихся частиц, т. е. в системе, где суммарный
импульс этих двух частиц равен нулю. Рассмотрим ускоритель LEP, до
последнего времени работавший в Европейском Центре Ядерных Исследований
(CERN). В этом ускорителе сталкивались пучки электронов, ускоренных до
100 ГэВ. Ускорители, работающие со сталкивающимися пучками, называют
коллайдерами. Лабораторная система координат является в этом случае
системой центра инерции. При столкновении частиц выделяется энергия
Ег = 2 • 100 = 200 ГэВ.
(Напомним читателю, что 1 ГэВ = 1000 МэВ = 109 эВ).
Какая энергия выделяется при столкновении электрона, движущегося с
энергией 100 ГэВ, с неподвижным электроном? Прямой переход в систему
центра инерции оказывается в этом случае не таким простым. Воспользуемся
для расчета следующим приемом. В системе координат, связанной с центром
инерции, суммарный импульс электронов равен нулю, а значит их суммарная
энергия (которую мы и ищем) просто равна Мс2, где М - полная масса
системы. Найдем эту массу. Как мы уже знаем, масса является
релятивистским инвариантом и может быть рассчитана в любой системе
координат. Рассчитаем ее в лабораторной системе, где один из электронов
покоится, а другой имеет энергию 100 ГэВ. Импульсы этих электронов равны
0 и р, а значит суммарный их импульс просто равен р. Величина р при
необходимости может быть рассчитана по энергии электрона, но нам не
придется этого делать. В лабораторной системе энергия первого,
неподвижного электрона равна тс2. Обозначим энергию второго, летящего
электрона через Ei и вместо р для упрощения вида формулы будем писать pi.
В лабораторной системе:
М2с4 = Е2 - Р2с2 = (Ei + тс2)2-р2с2 =
= Ef + 2Eimc2 + т2^-р2с2 = 2Eimc2 + 2 m2c4.
436
Глава 16
Примем теперь во внимание, что в нашем случае Ei в две тысячи раз
превосходит гас2, так что второй член равенства представляет собой
небольшую поправку к первому. Пренебрежем ею. Итак, с хорошей точностью
можно считать, что
