Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
К § 11. Численное интегрирование задачи Kouiu для уравнений с частными производными
Методы построения и анализа разностных аппроксимаций уравнений математической физики на простейших сетках подробно описаны в [9, 19, 30, 43, 44, 70, 83, 112, 118]; там же рассмотрены вопросы реализации схем. Впервые на важность соотношения между щагами сетки было указано в [76]. Фундаментальный характер «условий Куранта» в полной мере был оценен позже, когда на ЭВМ стали решаться задачи, требующие проведения миллионов операций без контроля математика. В настоящее время практика вынуждает использовать сетки с нерегулярным расположением узлов. Построение аппроксимаций на таких сетках осуществляют не явными формулами, а алгоритмами вычисления коэффициентов схемы. Видимо, первым такие схемы использовал В. Ф. Дьяченко [58, 59] ,(см. § 23). Cm. также [130, 156].
К § 12. Спектральный признак устойчивости
Автором метода спектрального анализа устойчивости считают фон-Неймана, хотя он и не является автором первой публикации [28]. Это — пример работы, оказавшей огромное влияние на численный анализ, несмотря на крайнюю простоту используемого математического аппарата. Изложение теории устойчивости разностных схем и практики ее применения см. в [30, 43, 44]. Общую теорию устойчивости (необходимые и достаточные условия в терминах матричных неравенств) см. в [116-118]. Метод исследования разностных краевых условий был доложен К. И. Бабенко, И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским на конференции по функциональному анализу (Москва, 1956) и опубликован в [10]. Подробное изложение и дальнейшее развитие этого метода см. в [44].
К § 13. Метод переменных направлений
Метод переменных направлений, принадлежащий к небольшому числу алгоритмических изобретений, оказавших существенное влияние на развитие вычислительной математики, был предложен в 1955 г. Д. Писманом и Г. Рэчфордом [107]. Обобщение этой конструкции привело к созданию методов расщепления. В настоящее время эта конструкция широко используется для решения двумерных и трехмерных задач. Методы решения систем линейных уравнений с разреженными матрицами описаны в [55]. Теория схем со слабой аппроксимацией изложена в [117, 165].
К § 14.. Решение эллиптических задач методом сеток
Теория приближенного решения эллиптических краевых задач разработана очень полно. Многие теоретические результаты (особенно расчет оптимальных итерационных параметров) используются в практической работе. До появления ЭВМ основным был
525
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ
релаксационный метод Р. В. Саусвелла [132], используемый и сейчас. Современное его состояние описано в [164]. Метод переменных направлений, предложенный впервые в [107] и оптимизированный Е. Л. Вашпрессом [36], стал ярким событием в развитии численного анализа. Обобщения метода, расширяющие область его приложений, и развитие соответствующей теории выполнены Е. Г. Дьяконовым [56]. Подробно описание итерационных методов см. в [83, 120, 122, 140]. Теория устойчивого метода чебышевского ускорения предложена в [78, 116]. Устойчивый трехслойный вариант алгоритма, основанный на рекуррентном соотношении для полиномов Чебышева, изложен в [164]. Многосеточный метод предложен Р. П. Федоренко [149]; его теоретическое обоснование в простейшем случае (уравнение Пуассона в квадрате) дано в [144]. Cm. также [140, 161]. Независимость эффективности итераций от шага сетки в весьма общей ситуации доказана в [8, 17, 161]. Широкое распространение метод, названный Multigrid, получил после работ Хакбуша [157]. Применение метода к уравнениям упругости (бигармоническому, системе уравнений Ламе) см. в [98, 127].
К § 15. Спектральная задача Штурма-Лиувилля
Метод тригонометрической прогонки был предложен в [80, 94]. Cm. также список литературы к § 9, 11, 12, 18. Алгоритмы К. И. Бабенко см. в [9].
К § 16. Главная спектральная задача для краевых задач математической физики
Изложение теории и практики решения спектральной задачи в расчетах реакторов см. в [35, 86]. Метод решения уравнения Шредингера разработан П. М. Блехером и
B. И. Турчаниновым [23]. Исследование равновесных конфигураций плазмы проводилось Н. М. Зуевой [68] и др. Метод расчета нестационарного процесса в реакторе разработан и реализован Л. Г. Страховской и Р. П. Федоренко [127, 128].
К § 17. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений Вопросы приближенного решения жестких систем см. в [51, 108, 152]. Теорию сингулярно-возмущенных систем см. в [32]. Системный метод изложен в [3, 99]. Асимптотическая теория жестких систем предложена Р. П. Федоренко [139, 143, 150]. B-теория численного интегрирования подробно изложена в [51].
К § 18. Жесткие линейные краевые задачи
Параграф написан на основе [2, 49]. Теория корректных краевых задач разработана
C. К. Годуновым и В. С. Рябеньким [44]. Периодическая прогонка предложена в [1]. Cm. также [120].
К § 19. Осреднение быстрых вращений ¦
Теория метода построена Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [24, 75]. Стробоскопический метод введен Н. Минорским [91]; близкий «метод точечных отображений» см. в [93]. Изложение основано на обзоре [138] и диссертации А. М. Молчанова 189]. В [138] см. изложение идей А. Н. Колмогорова [74] (осреднение для гамильтоновых систем), развитых в работах В. И. Арнольда [7] и Ю. Мозера [88].
