Бегство от удивлений. книга для юных любителей физики с философским складом ума - Анфилов Г.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Отправной пункт моих рассуждений — тот самый постулат о единственности прямой, не пересекающейся с данной прямой, по которому без всяких доказательств устанавливается, что поверхность — плоскость. В дав-
215 ниє времена великий греческий геометр Евклид вывел из этого постулата всю геометрию плоскости — планиметрию.
Следом за Евклидом я строю углы, треугольники, квадраты, делаю всевозможные отсчеты, доказываю теоремы. Постепенно я убеждаюсь, что на плоскости действует строгая система правил измерения расстояний. Геометры называют эти правила метрикой.
Метрические теоремы — не новинка для любого восьмиклассника. Главная из них — теорема Пифагора, знаменитые в поколениях школяров всех стран и наций «пифагоровы штаны». Теорема утверждает: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов меньших сторон (катетов а и Ь) обязательно равна квадрату большей стороны (гипотенузы 5): .
S2 == аг + Ь"-
Я, блин, горжусь, что сумел процитировать эту формулу по памяти, не заглядывая в учебник.
Кроме теоремы Пифагора, предметом моей гордости служит доказательство еще одного важного утвержде-
216 ния из школьной программы: в любом треугольнике сумма углов строго равна двум прямым. Ни больше ни меньше. Надеюсь, и эту теорему вы не забыли.
Примеряем „пифагоровы штаны"
Один рассеянный ученик по ошибке принес на урок геометрии вместо тетради футбольный мяч; Пришлось ему на мяче чертить всевозможные чертежи. Но вышла незадача: углы треугольников никак не складывались в два прямых. Выходило больше. А когда задали задачку на теорему Пифагора, ученик-футболист аккуратно составил из геодезических линий прямоугольный треугольник, измерил стороны, сложил квадраты катетов— и получилось больше, чем квадрат гипотенузы! «Пифагоровы штаны» оказались велики для футбольного мяча.
Примечательный случай произошел также с одним бравым ковбоем. Он воспылал симпатией к геометрии, но вместо тетради делал построения на лошадином седле. Тут сумма углов треугольника получилась меньше двух прямых, сумма же квадратов катетов — меньше квадрата гипотенузы. На седло «пифагоровы штаны» не натянулись. Они для седла малы.
Почему же? Разве теорема Пифагора не везде справедлива? И теорема о сумме углов треугольника тоже не универсальна?
Да, это так. Метрические правила неодинаковы на поверхностях разной кривизны. Они ведь выводятся из первоначального постулата о пересечении геодезических линий. На сфере, на седле, на плоскости эти линии пересекаются по-разному — отсюда разные суммы углов треугольников и усложненные (геометры говорят — обобщенные) варианты теоремы Пифагора.
Разгадка поверхнооти
На плоскости — проще всего. Там все точно по Евклиду. А поэтому строгое соблюдение школьных теорем — верный признак плоскости. Какие треугольники ни строй, всегда сумма углов равна двум прямым.
217 Какие прямоугольные треугольники ии приставляй к расстоянию, всегда соблюдается равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.
Жаль, что, будучи блином, я сразу не захватил с собой рулетку и транспортир. Имея их, я не возился бы с пересечением геодезических, когда определял, какова моя поверхность. Не ползал бы, не уставал. Начертил бы треугольник, посчитал бы сумму углов, вышло два прямых — значит, моя поверхность плоская. Или сделал бы проверку по теореме Пифагора. Совпала сумма квадратов катетов с квадратом гипотенузы — есть доказательство плоскости.
Будь моя поверхность неплоская, вышло бы как у геометра-футболиста и геометр а-ковбоя. Сумма квадратов катетов больше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» велики)—значит, я на шаре. Сумма квадратов катетов меньше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаиы» малы) — значит, я на седле. Аналогично с суммой углов треугольника. Больше она двух прямых — треугольник начерчен на сфере, меньше — на седле.
Надеюсь, сказанное до сих пор не внушило вам недоверия. Пока шли разговоры о поверхностях, ничуть не удивительно, что их кривизна связана с метрикой. Это — как резиновая игрушка «уйди-уйди». Вообразите, что тетрадная страничка с геометрическими чертежами тоже резиновая, раздуйте ее в пузырь, натяните на седло или бублик — размеры углов и длин на чертежах тотчас станут другими. Ничего странного \
Но через эти простые вещи мы с вами подходим к неизбежности труднейшего логического скачка — с кривой поверхности в кривое пространство. К определению его кривизны изнутри, без оценок «со стороны».
1 Мимоходом стоит заметить, что любую поверхность можно деформировать и без изменения законов пересечения геодезических линий, а значит, без изменений метрики. Сложите тетрадный лист, скомкайте его, сверните в трубочку — во всех чертежах расстояния и углы останутся прежними. Чтобы «изнутри» отличить цилиндр от плоскости, потребуются другие соображения. Например, на цилиндре любая геодезическая (кроме образующей) замкнута — либо эллипс, либо круг. Об этой тонкости ие надо забывать, но она — лишь частный случай. Глава 2 2. ВДОЛЬ ПРОСТРАНСТВА
От окна по ниосна
Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только ползать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.
