Бегство от удивлений. книга для юных любителей физики с философским складом ума - Анфилов Г.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Трудновато? Да, нелегко.
Геометрическая возможность неевклидового пространства была неожиданным откровением науки XIX века.
Это открытие, сделанное в 1825 году, принадлежит гениальному русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому.
Два варианта кривизны
Итак, мы с вами добрались до кривого пространства. Научились, кажется, устанавливать изнутри его сам факт кривизны: об этом может свидетельствовать нарушение евклидовых метрических теорем.
Геометры идут дальше: они умеют предсказывать, как именно изменится теорема Пифагора и сумма углов треугольника в пространствах, искривленных по-разному. Рассуждения похожи на те, что я вел, будучи блином на неизвестной поверхности. Например, если аг+Ьг + сг меньше, чем S2, а сумма углов треугольника меньше двух прямых («пифагоровы штаны» и «треугольная шляпа» для пустоты «малы»), то пространство гиперболическое. Вместо плоскостей в нем седловидные поверхности, вместо прямых — гиперболы. Этот вариант неевклидовой геометрии и был разработан Лобачевским.
Другая геометрическая система, развитая замечательным немецким математиком Георгом Риманом, получится, если а2 + Ьг + сг выйдет больше, чем S2, а сумма углов треугольника превысит два прямых. Эта геометрия называется эллиптической. В ней вместо плоскостей — поверхности вроде яичной сколупы или мяча, вместо прямых — дуги больших эллипсов или, соответственно, больших кругов.
Позволю себе повторить еще раз: в плавно искривленном пространстве все геодезические линии представляются прямыми. «Истинных» же прямых там нет, их
222 ^невозможно провести. Любая неизбежно согнется, как !обязательно согнется нить, натянутая по сфере. Причем, ~если пространство искривлено неравномерно, в разных ^.местах по-разному, то и прямейшие геодезические ли-¦ нии в разных точках согнутся неодинаково. При движе-: нии вдоль геодезической ее «волнистость», конечно, незаметна. Всюду эта линия выглядит одинаково прямехонькой. Однако стоит испытать в разных местах метрические правила, как обнаружатся изменения, отклонения от привычной евклидовой «нормы». ; Короче говоря, в неравномерно-неевклидовом про-.странстве от точки к точке меняется метрика, приемы ; определения расстояний. Меняется теорема Пифагора. : В общем виде простая формула ее заменяется более сложной, включающей величины, которые характеризуют кривизну пространства в разных его местах. И, как следствие, в разных местах такого пространства оказываются разными длины предметов, кратчайшие расстояния между точками.
Вот такие чудеса допускают геометры в неевклидовом пространстве!
Сфера Пуамнаре
Еще диковина: некоторые неевклидовы пространства могут быть конечными, хоть и безграничными. Расстояния там не превышают некоего определенного значения и, соответственно, не могут существовать сколь угодно большие объемы.
Подобно тому, как яйцо или мяч обладают безграничной поверхностью, но ограниченной площадью, эллиптическое пространство не имеет границ и тем не менее имеет конечный объем. Искривляясь, оно как бы замыкается на себя!
Странно? Очень.
Но все же доступно наглядному моделированию.
Французский математик Анри Пуанкаре. один из предшественников Эйнштейна, ухитрился придумать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.
В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фантастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, световые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен температуры. Ему всегда «не жарко, не холодно». Вот и все.
По вашей командировке я обретаю указанные свойства, переселяюсь в шар Пуанкаре (пусть висящий где-то в космосе, в невесомости) и, допустим, обитаю в нем в полном одиночестве. Тем не менее я замечаю вокруг множество, человеческих фигур. Всюду я вижу себя и только себя — и впереди, и сзади, и со всех сторон. Световые лучи идут замкнутыми путями. Приближаясь к краям шара, они, плавно преломляясь, заворачивают внутрь, так что эти края невозможно увидеть, даже находясь совсем рядом с ними. Завернув, лучи возвращаются туда, откуда вышли. Вот и получается, что передо мной — моя спина, надо мной — подошвы - моих ног, подо мной — моя макушка. Стреляя вперед из светового пистолета, я, если захочу, попаду в собственный затылок.
Разумеется, луч представляется мне прямым. Считая его эталоном прямизны, я не замечаю кривизны своего пространства. Ее нельзя обнаружить и движением; шагая вдоль луча, я открываю лишь существование предельно большого расстояния, так как вскоре возвращаюсь к месту старта. Стенки шара мне совершенно недоступны. Когда я подхожу к ним, то сжимаюсь вместе с окружающей средой, и одновременно сжимаются все расстояния вокруг меня, все длины, все ВЫСОТЫ. В любой точке шара я не замечаю изменения своих размеров. Поэтому всюду я воспринимаю окружающее пространство так, будто нахожусь в его центре. И не вижу нигде никаких границ своего малень-.
