Стабилизация сверхпроводящих магнитных систем - Альтов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
и разность правых частей первоначального уравнения теплопроводности (5-
69) для двух соответствующих решений, которая равна нулю по условию
стационарности
(А' + АХ) --Ц- (АО -Q (Х+ АХ) + Q (X) +
И*
163
г
+ V ix + ЬХ) P.} *х = °-
(5-88)
Таким образом, Pi представляет собой собственную функцию рассматриваемого
оператора, причем ей соответствует нулевое собственное число. Это
обстоятельство легко интеопретируется: добавление возмущений типа Pi к
исходной функции т(Х) приводит К малому сдвигу температурного
распределения, которое оставалось бы также стационарным, если бы
отсутствовали другие возмущения. Однако функция Pt имеет один нуль.
Известно, что собственная функция, не имеющая нулей, характеризуется
меньшим, т. е. отрицательным собственным числом (волновая функция
основного состояния в квантовой механике не имеет нулей). Отсюда и
следует доказываемое утверждение.
Подобная не обращающаяся в нуль собственная функция согласно уравнению
(5-76) неограниченно растет со временем. Это означает, что первоначальное
распределение Tt(X) неизбежно начнет либо "расплываться", причем
температура будет всюду возрастать, либо убывать в зависимости от
"содержания" компоненты Pi в начальном возмущении.
Доказанная теорема легко обобщается на случаи, когда Q и W зависят от
производных дх/дХ, дН/дХ2 и т. д., когда теплопроводность проводника
меняется с температурой, а также на случай движущихся квазистационарных
распределений. Хотя при учете ряда дополнительных эффектов основное
уравнение (5-72) может видоизменяться, представляется вероятным, что
полученный результат должен сохранять свою применимость для весьма
широкого класса систем.
Из приведенного доказательства видно, что оно вполне может быть
перенесено на случай произвольного стационарного распределения в
однородном по длине проводнике. Если в исходном распределении имелось н
есколько максимумов, но нулевое собственное число будет соответствовать
собственной функции с таким же числом нулей. Соответственно все
компоненты возмущения с меньшим числом нулей окажутся неустойчивыми.
Если, однако, имеется такое стационарное решение, что функция х(Х)
монотонно .растет от нулевого до некоторого конечного значения, то ее
производная не имеет нулей и является снова собственной функцией с
нулевым собственным числом. Подобное стационарное распределение строилось
нами при нахождении минимального тока распространения г?,. Можно
заключить, что такое распределение соответствует безразличному
равновесию, поскольку возмущения приводят лишь к малым сдвигам начального
распределения, а все более сложные компоненты возмущения затухают.
Доказанная нами теорема, очевидно, непосредственно не применима при
неоднозначных зависимостях г(т). Здесь формально возможно различие между
результатами сдвига распределения тем-лературы и дифференцирования. В
этой связи высказывались предположения (Л. 5-2, 5-3], что подобная
неоднозначная зависимость г(т) (типа изображенной на графиках рис. 4-10)
действительно может приводить к стабилизации ограниченных нормальных
участков. Можно формально вычислить значение тока iр для распространения
нормальной зоны, считая, что переход в сверхпроводящее состояние
происходит из крайней левой точки, где еще возможно существова-
164
ние резистивного состояния, как показано на рис. 4-10 стрелкой. Наоборот,
при расчете тока распространения сверхпроводящей зоны можно предположить,
что переход в резистивное состояние происходит из точки, соответствующей
критической температуре (при данном токе). Полученные таким образом
значения токов распространения для нормальной и сверхпроводящей фаз
должны отличаться, т. е. должна, по-видимому, существовать область токов,
при которых не происходит распространение ни той, ни другой зоны.
С подобными допущениями можно получить и соответствующие критерии
устойчивости, которые дают, во всяком случае, некоторый нижний предел для
тока распространения ip. Возможно также, что при достаточно быстром
движении нормальной или сверхпроводящей зоны переходы между этими
состояниями осуществляются почти так же как было описано выше. Таким
образом, можно, например, вычислять скорость движения той или иной фазы.
Однако, насколько оправдано введение подобной двузначности функции г(т)
при построении стационарного распределения (как, например, при
определении l?,) , в настоящее время не вполне ясно.
В самом деле, положение точки перехода на графике рис. 4-10 должно
определяться более общей системой уравнений, учитывающей и тангенциальные
компоненты токов. Вблизи указанной точки принимаемое для построения
зависимости г(т) предположение о малости этих компонент непригодно и
эффективное сопротивление должно непрерывно, хотя, видимо, и достаточно
быстро меняться от нуля до значений, соответствующих верхней ветви кривой
г (г). Таким образом, для данной задачи многозначность функции г(т) может
оказаться иллюзорной и тогда отпадают и все соображения о возможности
