Стабилизация сверхпроводящих магнитных систем - Альтов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующие компоненты начального возмущения в линейном приближении
неограниченно возрастают, что свидетельствует о неустойчивости
распределения. Если собственных функций при Я.<0 не существует, то все
малые возмущения со временем
затухают. Таким образом, исследуя спектр собственных значений
уравнений (5-73), можно К принципе решить вопрос об устойчивости любого
начального распределения. Заметим, что эта задача по форме совершенно
аналогична квантовой задаче о нахождении спектра энергии частицы в
одномерной потенциальной "яме". Уравнение (5-73) является уравнением
Шредингера, где роль потенцила fdQ dW'\
играет функция I 1, принимающая как положитель-
ные, так и отрицательные значения.
Рассмотрим в качестве простого примера случай, когда сопротивление
проводника г изменяется скачком от нуля до r= 1 при критической
температуре т=1-i (см. рис. 5-2,в"). Из исходного уравнения
теплопроводности можно получить уравнение для возмущения Р(А, t) в виде
Для принятой разрывной функции г(т) производная drjdt всюду равна нулю за
исключением точки перехода, в которой она представляет собой б-функцию
Дирака. Для определения множителя при б-функции, выраженной как функция
координаты, вычислим следующий интеграл в малой окрестности точки
перехода:
р dr С dX dr , dX I
)-WdX-)-dr-drdt = -lb |т=1_/ (5-78)
В сверхпроводящей области г=0 и
т(А) = (1-i)e-*+L, (5-79)
где L - координата точки перехода. Отсюда
t(Z.) = 1-i. (5-80)
Таким образом, потенциал и(Х) в этой задаче определяется соотношением
ai2
и (X) = 1 - 'унт" 8 (X - L). (5-81)
Для нахождения границ устойчивости достаточно получить условие, при
котором в "яме" с данным потенциалом энергия основного
состояния становится равной нулю Гнапомним, что ы(оо) = 1]. Функция
основного состояния Ро симметрична относительно начала координат и имеет,
как нетрудно проверить, следующий вид:
" (ch* О<X<L\
X>L. <5-82>
В точке X=L производная функции Ро имеет скачок
d$о I
=shi - chi. (5-83)
Из уравнения (5-77) ясно, что этот скачок должен равняться коэффициенту
при б-функции в потенциале и(Х), поскольку все остальные члены уравнения
остаются конечными, т. е.
СИ2
ch L - sh L =ch L -у--(5-84)
или
1 - i - ai2
th L = flTi • (5-85)
Это уравнение определяет положение пунктирной линии Цi) на графике рис.
5-3,6, разделяющей области устойчивых и неустойчивых состояний. Поскольку
для принятой зависимости г(т) напряжение на половине образца равно Li, то
уравнение аналогичной 162
кривой на вольт-амперной характеристике (рис. 5-6,а, пунктир) примет
следующий вид:
1-'I - ai2 i 2 - 2i - ai2
и (О - I arcth j^-;--------= -y In----------^-• (5-86)
Аналогично могут быть найдены границы областей устойчивости и для более
сложных случаев (рис. 5-2,6). Соответствующие выводы не приводятся в силу
их громоздкости.
При учете всевозможных дополнительных факторов (контактное электрическое
или тепловое сопротивление, конечность сопротивления сверхпроводника и т.
д.) получение точного условия устойчивости сопровождается все
возрастающими вычислительными трудностями и возможно только при помощи
численного расчета. Интересно поэтому привести следующий важный
результат, имеющий весьма общее применение.
При экспериментальном исследовании состояний теплового равновесия
комбинированных проводников нередко наблюдается такое положение, когда
раз возникший в образце резистивный участок продолжает устойчиво
существовать при дальнейших изменениях тока, хотя причины, вызвавшие
появление участка (начальный нагрев, скачок потока и т. п.), давно
исчезли. При этом резистивное или полностью нормальное состояние
простирается лишь на некоторую конечную длину, вне которой образец может
оставаться полностью сверхпроводящим. Иногда существуют несколько таких
участков, которые при изменении тока сливаются, скачкообразно
перемещаются вдоль .проводника и т. п.
Ясно, что с точки зрения нормальной работы сверхпроводящей магнитной
системы возможность появления таких резистивных участков представляет
явное неудобство, поскольку, даже если от таких участков не
распространяются нормальные области, в них самих происходят нежелательные
потери. Необходимо поэтому выяснить, какие факторы могли бы приводить к
устойчивости подобных ограниченных участков. Заметим, что на рис. 5-3,а
имеется линия, описывающая подобные состояния, которая соответствует
нулевой мощности нагревателя (/=0). Однако эта линия целиком расположена
в заштрихованной области неустойчивых состояний. Оказывается, что этот
результат справедлив для однородного проводника при любых однозначных
зависимостях тепловыделения и теплоотвода от температуры.
Для доказательства рассмотрим некоторое стационарное решение уравнения
(5-М), соответствующее куполообразной кривой т(А), спадающей к нулю на
бесконечности (см. рис. 5-i) [Л. 5-4]. В силу однородности проводника
любое решение тДА+ДА) также удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотрим
функцию
h = (5-87)
