Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
Условие Оз. Множество Р допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого Ар представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.)
Условие О г- Дополнение любого множества, допускающего наименование в данной системе, также именуемо в этой системе. Иначе говоря, для любого
числа х найдется такое число х , для которого множество Ах; является дополнением множества Ах. (Для системы Фергюссона таким х' было число 3-х.)
Условие в3. Для любого именуемого множества А множество А* также именуемо в данной системе. Иначе говоря, для любого числа х всегда найдется такое число х*, что множество Ах* представляет собой множество всех чисел п, для которых П*п принадлежит Ах. (Для системы Фергюссона таким- х* было число З-х+1.)
Очевидно, что условия Бь Р2 и Из, характеризующие машину Фергюссона, представляют собой не более чем частные случаи условий б|, С2 и вз. Последние имеют большое значение потому, что они действительно выполняются для самых разнообразных математических систем, в том числе и для тех двух систем, которые рассмотрены в работе Гёделя. Другими словами, оказывается возможным расположить все допускающие наименование множества в виде бесконечной последовательности А}, Аг Ап, ••• и ввести для
всех утверждений некоторую частную нумерацию Гёделя, причем так, что будут выполняться условия Оь О 2 и Оз. В результате все то, что является доказуемым для систем, удовлетворяющих условиям б|, О2 и Оз, будет применимо ко многим другим важным системам.
Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему Гёделя в общей форме.
Теорема О. Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям Оь С2 и йз, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе.
Доказательство теоремы О представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит множеству Р. Поскольку множество Р (согласно условию в 0 именуемо в данной _сисгеме, то же можно сказать и о его дополнении Р (согласно условию в г), а следовательно, и о множестве Р* (согласно условию Оз). Но множество Р* совпадает с множеством К (поскольку Р*—это множество таких чисел х, для которых х* х принадлежит Р, или, другими
словами, множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит Р). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К~Ак по крайней мере для одного числа к. (Для системы Фергюссона одним из таких значений к было число 73, другим—число 75.) Таким образом, для любого числа х истинность утверждения хЕ.Ак равносильна утверждению, что число х*х не принадлежит Р, а это в свою очередь означает, что утверждение х Е. А х недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве х число к, то истинность утверждения кЕ.Ак будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе.
Обсуждение. В своей предыдущей книжке «Как же называется эта книга?» я рассматривал аналогичную ситуацию—остров, все жители которого делятся на рыцарей, которые всегда говорят только правду, и плутов, которые всегда лгут. При этом некоторых рыцарей мы называли признанными рыцарями, а некоторых плутов—отъявленными плутами. (Все рыцари высказывают истинные суждения, а признанные рыцари высказывают утверждения, которые не только истинны, но и доказуемы.) Далее, ни один из жителей острова не может сказать: «Я не рыцарь»—ведь рыцари никогда не лгут и, стало быть, рыцарь не станет говорить, будто он не рыцарь; плут же никогда не скажет о себе правдиво, что он не рыцарь. Именно поэтому ни один из обитателей острова никак не может заявить, что он не рыцарь. Вместе с тем некий островитянин вполне может сказать: «Я непризнанный рыцарь». Противоречия в таком заявлении нет, однако вот что интересно: сказавший это наверняка должен быть рыцарем, но непризнанным рыцарем. Дело в том, что плут никак не может сделать правдивого заявления, что он непризнанный рыцарь (поскольку он и в самом деле им не является); стало быть, говорящий должен
179
быть рыцарем. Но раз он рыцарь, то, значит, должен говорить правду; стало быть, он рыцарь, но, как он сам утверждает,— непризнанный рыцарь. (Точно так же высказывание &ЕА&, утверждающее свою недоказуемость в данной системе, должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе.)
Утверждения Гёделя и теорема Тарского
Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям в 2 и вз (условие в | пока несущественно). Ранее мы определили Р как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос; «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?»—и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий в г и Оз. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности—о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию вз.
