Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
7. Пусть теперь нам даны условия С{ и вз.
а. Согласно условию О/, множество Я именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию Оз, множество Я* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число к, при котором Ан=Я*‘ Далее, по определению множества Я* число х принадлежит Я* в том и только том случае, если число х*х принадлежит множеству Я. Поэтому для любого х это х принадлежит Аи в том и только том случае, если число х*х входит в множество Я. В частности, если в качестве х выбрать Л, то число к будет принадлежать Аь в том и только том случае, если число к*И входит в Я. Далее, к принадлежит А* в том и только том случае, если утверждение ЛЕА* истинно. С другой стороны, поскольку число к*к есть гёделев номер
утверждения п Е А к, ТО п*п ВХОДИТ в Р в том и только том случае, если утверждение ЙЕА* опровержимо. Значит, утверждение йЕ А* истинно в том и только том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение ЛЕА;, недоказуемо и неопровержимо (и, кроме того, оно ложно).
б. Пусть нам дано, что множество Аю—это Я и что Л5.л при любом числе п совпадает с множеством Аа*. Значит, А50 есть множество Я*. Тогда, согласно решению «а», если принять й=50, то утверждение 50Е Ало будет недоказуемым и неопровержимым. Кроме того, это утверждение будет ложным.
л ?? Машины, X О рассказывающие о себе
Рассмотрим теперь доказательство Гёделя с несколько иной точки зрения, которая позволяет увидеть основную идею особенно ярко.
Возьмем четыре символа Р, N, А, — и рассмотрим всевозможные комбинации этих символов. Произвольную комбинацию указанных символов мы будем называть выражением. Например, выражением является
комбинация Р МА—Р; точно так же выражением
будет комбинация —PN----А — Р—. Некоторым выра-
жениям мы будем приписывать определенный смысл — такие выражения в дальнейшем будут называться утверждениями.
Предположим, что у нас имеется машина, которая может выдавать нам (распечатывать) одни выражения и не может выдавать другие. При этом те выражения, которые машина может напечатать, мы будем называть допускающими распечатку. Предполагается, что любое
187
выражение, которое может напечатать машина, рано или поздно обязательно будет ею напечатано. Если нам задано выражение X и мы хотим высказать суждение, что X допускает распечатку, то будем записывать это как Р—X. Так, например, запись Р—ANN означает, что выражение ANN допускает распечатку (при этом неважно, является ли это утверждение истинным или ложным). Если же мы хотим сказать, что выражение X не допускает распечатки, то будем писать NP—X. (Символ N—от англ. not — отрицание «не», а символ Р—от англ. printable—допускающий распечатку.) Таким образом, запись вида NP—X следует читать как «не допускающее распечатки X», или, что по существу то же самое, «выражение X не допускает распечатки».
Ассоциатом выражения X мы будем называть выражение X—X; при этом вместо слова «ассоциат» нами будет использоваться символ А (от англ. associate). Таким образом, если нам задано некоторое выражение X и мы хотим сказать, что ассоциат выражения X допускает распечатку, то будем записывать это как РА—X. Если мы теперь хотим сказать, что ассоциат утверждения X не допускает распечатки, то это будет записываться как NPA—X.
Читателя, быть может, удивляет, что мы используем тире в качестве своеобразного символа. В самом деле, почему, когда нам нужно высказать суждение о том, что выражение X допускает распечатку, вместо записи Р—X не писать просто РХ? Это делается для того, чтобы избежать определенной двусмысленности. В самом деле, что, например, может означать запись PAN, если мы откажемся от тире? Она может означать либо что ассоциат выражения N допускает распечатку, либо что допускает распечатку выражение AN. Если же мы пользуемся тире, то подобной двусмысленности не возникает. Так, если мы хотим сказать, что ассоциат выражения N допускает распечатку, то записываем этот факт как РА—N; если же хотим сказать, что допускает распечатку выражение AN, то пишем Р—AN. Предположим теперь, нам нужно сказать, что выражение —X допускает распечатку. Правильно ли будет записать эту фразу как Р—X? Нет, ведь запись Р—X означает, что выражение X допускает распечат-
188
ку. Поэтому чтобы сказать, что допускает распечатку выражение —X, нужно написать Р X.
Рассмотрим еще несколько примеров: запись Р---------
означает, что — допускает распечатку, запись РА--------
означает, что выражение (ассоциат выражения—) допускает распечатку; запись Р-------------также
означает, что---------допускает распечатку; запись
NPA Р—А означает, что ассоциат выражения
— Р—А не допускает распечатки, или, другими словами,
что не допускает распечатки выражение —Р—А-------------
