Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смаллиан Р.М. -> "Принцесса или тигр " -> 52

Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.

Смаллиан Р.М. Принцесса или тигр — Мир , 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): ladyorthetiger1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 73 >> Следующая

159
вместо Л, 4 вместо V и 5 вместо Л). Для удобства запишем это так:
О Л V Я
2 6 4 5
Теперь посмотрим, какой вид примут первые четыре
условия Фаркуса, если мы запишем их не в буквах, а в
цифрах.
(1). Для любого числа X число 2X2 является родственным числу X.
(2). Если число X родственно числу У, то число 6Х оказывается родственным числу 2 У.
(3). Если число X родственно числу У, то число 4Х родственно числу Г.
(4). Если число X родственно числу У, то число 5Х родственно числу УУ.
Сразу видно, что это—точно те же правила, которым подчиняется последняя машина Мак-Каллоха, с той лишь разницей, что вместо слова «порождает» используется слово «родственно». (Конечно, я мог бы воспользоваться словом «порождает» и в гл. 8, где речь шла об условиях Фаркуса, но тогда читателю было бы слишком уж легко обо всем догадаться!)
Позвольте мне сказать это еще раз и поточнее. Для любой комбинации х, состоящей из букв (2, Л, V, Я, мы будем обозначать через х число, которое получается при замене (} на цифру 2, Л на цифру 6, V на цифру 4 и Я на цифру 5. Например, если это комбинация вида У(}ЯЬ(2, то х—число 42562. При этом мы будем называть число х кодовым номером комбинации х. (Кстати, идея приписывания логическим высказываниям специальных чисел—так называемых «гёделевых номеров»—принадлежит известному логику Курту Гёделю и известна под названием гёделевой нумерации. Она очень важна, как мы увидим в IV части нашей книги.)
Значит, мы можем окончательно сформулировать главную мысль последнего абзаца в таком виде: для любых комбинаций х и у, составленных из четырех букв (2, Л, V, Я, если, исходя из правил М1, МИ, МШ и М1У, используемых в последней машине Мак-Каллоха, можно показать, что число х порождает число у, то
160
тогда, исходя из первых четырех условии Фаркуса, можно показать и то, что комбинация х является родственной по отношению к комбинации у, и наоборот
Таким образом, если мы находим число, которое должно порождать само себя в последней числовой машине Мак-Каллоха, то это число должно оказаться кодовым номером некой комбинации, родственной самой себе, причем эта комбинация будет открывать замок.
Но как же нам найти такое число N. которое порождало бы само себя в нашей последней машине? Прежде всего будем искать некоторое число Н, такое, чтобы для любых чисел X и У, если число X порождает число У, число НХ порождало бы число У2У2. Если мы сумеем найти это число Н, тогда при любом У число Н2У2 будет порождать число У2У2 (потому что, согласно правилу М1, число 2У2 порождает число У), а значит, число Н2Н2 будет порождать число Н2Н2\ тем самым мы получим искомое число N. Но как найти число Н?
Эта задача сводится к следующей: как, исходя из заданного числа У и последовательно применяя операции, которые способна выполнять наша машина, получить число У2У2? Так вот, построить число У2У2 из числа У можно следующим способом: сначала построить обращение числа У, получив число У; затем слева от У приписать цифру 2, получив тем самым число 2 У; далее построить обращение числа 2Т, получив число У2; наконец, построить повторение числа У2 , получив число У2У2. Эти операции обозначаются соответственно операционными числами 4, 6, 4 и 5, поэтому в качестве Н мы выберем число 5464.
Давайте проверим, подходит ли нам найденное число Н. Пусть число X порождает число У; тогда мы должны выяснить, действительно ли число 5464Н порождает число У2У2. Но поскольку X порождает У, то число АХ порождает число У (в соответствии с правилом МШ); значит, число 64 X порождает число 2 У (в соответствии с правилом МИ). Отсюда следует, что число 464Х порождает число У2 (в соответствии с правилом МШ), и, стало быть, число 5464Х порождает число У2У2 (в соответствии с правилом М1У). Итак,
161
мы получили, что если X порождает У, то число НХ в самом деле порождает число У2У2.
Теперь, когда число Н найдено, выберем число N равным Н2Н2, в результате мы получим число 5464254642, которое порождает само себя. (Читатель может легко убедиться в этом самостоятельно.)
Но раз число 5464254642 порождает само себя, то, значит, это и есть кодовый номер той комбинации, которая открывает замок сейфа. Ясно, что указанная комбинация имеет вид ЯУЬУС^НУЬУС).
Конечно, задачу о сейфе из Монте-Карло можно решить и не преобразовывая ее в задачу для числовой машины, однако я привел здесь это решение по двум причинам. Во-первых, именно так решал во времени эту задачу сам Крейг, а во-вторых, я подумал, что читателю будет интересно увидеть, как две математические задачи могут иметь разное содержание, но одну и ту же абстрактную форму.
Для того чтобы непосредственно убедиться в том, что комбинация ЯУЬУ0КУЬУ(2 является родственной по отношению к самой себе (а значит, и открывает замок), будем рассуждать следующим образом. Комбинация QRУLVQ родственна по отношению к комбинации ЯУЬУ (согласно свойству О), поэтому комбинация УОЯУЬУС^ будет родственной по отношению к обращению комбинации ЯУЬУ (согласно свойству У), то есть к комбинации УЬУЯ. Значит, комбинация ЬУОЯУЬУС} родственна по отношению к комбинации (^УЬУК (согласно свойству Ь), и, следовательно, комбинация УЬУОЯУЬУО оказывается родственной по отношению к обращению комбинации ОУЬУЯ, то есть комбинации ЯУЬУО. Тогда (согласно свойству Я) комбинация ЯУЬУ(}ЯУЬУ<3 будет родственной по отношению к повторению комбинации ЯУЬУ(2, то есть к комбинации Ryi.VQRVI.VQ. Итак, комбинация RVLVQRVLVQ действительно является родственной самой себе.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed