Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, в обследованной Крейгом лечебнице содержится по крайней мере один находящийся в здравом уме пациент или работают двое лишившихся рассудка врачей.
10, 11, 12. Поначалу мы обратимся к задачам 11 и 12, поскольку самый легкий путь к решению задачи 10 состоит в том, чтобы сначала рассмотреть решение задачи 12.
Прежде чем приступить к их решению, позвольте мне сформулировать полезное правило. Пусть мы имеем два конкретных утверждения, например X и У, про которые нам известно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда любой обитатель лечебницы, верящий в одно из этих утверждений, должен поверить также и другому. Основание: если оба утверждения истинны, то любой обитатель, который поверит одному
46
из них, должен находиться в здравом уме, а значит, сразу должен поверить и другому утверждению, так как оно также является истинным. Если же оба утверждения ложны, тогда обитатель лечебницы, который примет за истину одно из них, непременно должен оказаться безумным, а значит, обязательно должен поверить и другому утверждению, поскольку оно тоже будет ложным.
Обратимся теперь к решению задачи 12. Рассмотрим два произвольных комитета—комитет 1 и комитет 2. Обозначим через 17 множество всех тех обитателей лечебницы, чьи злейшие враги объединены в комитет 1, а через У—множество всех тех обитателей, чьи лучшие друзья принадлежат комитету 2. Согласно утверждению 4, множества 17 и У представляют собой комитеты. Тогда в соответствии с утверждением 5 существует некий обитатель, назовем его Дэн, близкий друг которого, назовем его Эдвард, полагает, что Дэн входит в группу 17, а злейший враг которого, назовем его Фрэд, считает, что Дэн состоит в У. Итак, Эдвард считает, что Дэн принадлежит комитету [7, а Фрэд уверен, что Дэн входит в комитет У. Наконец, по определению множества 17 утверждение о том, что Дэн входит в 17, равносильно утверждению о том, что его злейший враг Фрэд состоит в комитете 1. Другими словами, утверждения «Дэн входит в С7» и «Фрэд состоит в комитете 1» либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку Эдвард принимает за истину одно из них, а именно что Дэн входит в 17, то он должен также принять на веру и другое, а именно что Фрэд состоит в комитете 1 (вспомним тут наше вспомогательное правило). Итак, Эдвард считает, что Фрэд состоит в комитете 1.
С другой стороны, сам Фрэд полагает, что Дэн входит в комитет У. Но при этом Дэн состоит в У только в том случае, если его друг Эдвард входит в комитет 2 (по определению У). Иными словами, два этих утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда, поскольку Фрэд полагает, что Дэн входит в У, он (Фрэд) должен считать, что Эдвард состоит в комитете 2.
Таким образом, мы имеем двух обитателей, Эдварда
47
и Фрэда, каждый из которых убежден в следующем: Эдвард — что Фрэд входит в комитет 1, а Фрэд — что Эдвард состоит в комитете 2. Это и есть решение задачи 12.
Для решения задачи 10 выберем в качестве комитета 1 множество всех пациентов, а в качестве комитета 2 множество всех врачей — эти комитеты существуют согласно условиям 1 и 2. В соответствии с решением задачи 12 существуют два обитателя лечебницы — Эдвард и Фрэд, которые уверены в следующем: Эдвард— в том, что Фрэд входит в составленный из пациентов комитет 1; а Фрэд—в том, что Эдвард входит в составленный из врачей комитет 2. Другими словами, Эдвард считает, что Фрэд является пациентом, а Фрэд уверен, что Эдвард—врач. Тогда, следуя решению задачи 1 (заменив лишь имена Джонс и Смит на Эдвард и Фрэд), мы находим, что один из названных обитателей, то есть Эдвард или Фрэд (кто именно, нам не известно), должен оказаться либо лишившимся рассудка врачом, либо находящимся в здравом уме пациентом. Ясно, что в любом из этих 'случаев ситуация в лечебнице будет явно ненормальной.
Обращаясь теперь к задаче 11, предположим, что все находящиеся в здравом уме обитатели лечебницы и все ее обитатели, лишившиеся рассудка, также представляют собой комитеты, а именно комитеты 1 и 2 соответственно. Тогда, согласно полученному только что решению задачи 12, обитатели Эдвард и Фрэд будут уверены в следующем: а) Эдвард — в том, что Фрэд находится в здравом уме, или, иными словами, что он состоит членом комитета 1; б) Фрэд — в том, что Эдвард лишился рассудка, а значит, состоит членом комитета 2. Но это невозможно, так как если Эдвард является нормальным человеком, то его убеждения истинны, а это значит, что Фрэд находится в здравом уме. Следовательно, убеждения Фрэда истинны, а это в свою очередь означает, что Эдвард лишился рассудка. Таким образом, мы получаем, что Эдвард должен быть одновременно и нормальным, и лишившимся рассудка человеком, что невозможно. С другой стороны, если Эдвард оказывается безумным, то его мнение по поводу Фрэда оказывается ложным, а это значит, что
48
Фрэд лишился рассудка. Тогда убеждения Фрэда относительно Эдварда также оказываются ложными, откуда следует, что Эдвард находится в здравом уме. Таким образом, мы имеем, что Эдвард опять должен быть одновременно и нормальным человеком, н безумным, что невозможно. Значит, допущение о том, что множество находящихся в здравом уме и множество безумных обитателей данной лечебницы представляют собой комитеты, приводит к явному противоречию. Следовательно, невозможно, чтобы обе эти группы были комитетами.
