Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
\
отрицательных степеней основания. Например, З-g- запишется в двоичной системе
11,001.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую производится определенными арифметическими действиями и обычно осуществляется непосредственно на электронной счетной машине по специальным программам.
Арифметические действия над числами, представленными в двоичной системе, производятся, как и в десятичной системе. При этом сложение двух единиц в каком-либо разряде дает ноль в данном разряде и перенос единицы в следующий разряд. Так, например,
1010 + 111 = 10001. S 64
Глава XIV. Электронные вычислительные машины
Умножение и деление в двоичной системе проще, чем в десятичной системе, так как таблица умножения заменяется правилами умножения чисел на 0 или на 1. Так, например,
X
1010 (10) 101 (5)
1010
0000 1010
110010 (50)
А
А
1 1
Число пот
Выбор двоичной системы счисления для большей части электронных счетных машин обусловлен теми обстоятельствами, что при этом
значительно упрощается арифметическое устройство (главным образом за счет выполнения операций умножения и деления) и, кроме того, цифру каждого разряда удобно представить, например, в виде включенного или отключенного реле, наличия или отсутствия сигнала в какой-либо цепи и т. п. (в двоичной системе цифра каждого разряда может иметь лишь два значения: 0 или 1).
Каждый разряд двоичного числа может быть представлен в виде наличия или отсутствия сигнала в своей цепи, или состояния реле. В этом случае для каждого разряда необходимо иметь свою цепь или реле (рис. 5) и число их будет равно числу разрядов (параллельная система). Можно двоичное число представить также в виде время-импульсного кода. В этом случае каждый разряд числа поступает через определенные промежутки времени по одной цепи (последовательная система). Отметки времени прохождения каждого разряда создаются синхронизирующими импульсами, общими для всей машины.
В соответствии с этими принципами кодирования чисел электронные счетные машины разбиваются на две категории: на машины параллельного действия и на машины последовательного действия. В машинах параллельного действия все разряды числа передаются одновременно и для каждого разряда требуется своя цепь. В машинах последовательного действия передача числа производится по одной
JL
A-AAA
А А А А Л Л Л А
Рис. 5. Системы кодов:
а — параллельная; б — последовательная; (1—код; 2—синхронизирующие импульсы). § 2. Программирование и кодирование
367
цепи, но время передачи пропорционально числу разрядов. Поэтому машины параллельного действия — более быстродействующие по сравнению с машинами последовательного действия, но зато они требуют больше аппаратуры.
Каждая электронная счетная машина имеет определенное число разрядов. Все числа, с которыми приходится иметь дело при вычислениях, должны укладываться в это число разрядов, при этом, естественно, должно быть учтено положение запятой, отделяющей целую часть от дробной.
В ряде машин положение запятой выбирается жестко — это машины с фиксированной запятой. Обычно запятая выбирается перед первым старшим разрядом, т. е. все числа при расчете должны быть меньше единицы, что обеспечивается выбором соответствующих масштабов. При сложных расчетах заранее трудно определить диапазон получаемых результатов и поэтому приходится выбирать масштабы с запасом, что ведет к снижению точности, или же предусматривать в программе вычислений автоматическое изменение масштабов, что усложняет программирование.
В некоторых машинах положение запятой указывается для каждого числа — это машины с учетом порядков, или, как принято говорить, машины с «плавающей» запятой. Указание положения занятой эквивалентно представлению числа в виде его цифровой части и его порядка, т. е.
N10=IOkNio в десятичной системе, N2 = 2pN2 в двоичной системе.
Так, число 97,35 может быть представлено как IO2 -0,9735. При представлении числа на машине должен быть указан его порядок (р или к) и его цифровая часть. При этом все разряды цифровой части полностью используются вне зависимости от величины числа, т. е. любое число представляется полным количеством значащих цифр с одинаковой относительной погрешностью. Это повышает точность вычислений, особенно при выполнении умножения, и в большинстве случаев позволяет обойтись без специального выбора масштабов.
Повышение точности вычислений и существенное упрощение программирования в машинах с учетом порядков достигается ценой усложнения арифметического" устройства, главным образом в части выполнения сложения и вычитания. Так как числа могут иметь разные порядки, то перед их сложением или вычитанием необходимо предварительно выравнять их порядки, при этом младшие разряды у меньшего числа отбрасываются, например
IO2 • 0,7587 + IO0 - 0,3743= IO2 • 0,7587 + IO2 • 0,0037 = IO2 • 0,7624. S 64
Глава XIV. Электронные вычислительные машины
В соответствии с двоичной системой кодирования в машинах с фиксированной запятой числа (они предполагаются меньшими единицы) кодируются просто последовательностью своих двоичных Знаков; например:
