Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Springer Verlag, p. 215.
Henderson R., Unwin P. N. Т., 1975. Three-dimensional model of purple
membrane obtained by electron microscopy, Nature, 257, 28.
Pessen H., Kumonsinski T. F., Timasheff S. N., 1973. Small angle x-ray
scattering. In: Methods in Enzymology, vol. 27, eds. С. H. W. Hirs and S.
N. Timasheff, New York, Academic Press, p. 151.
PittzE. P., LeeJ. C., Bablouzian B., Townend R., Timasheff S. N.. 1973.
Light scattering and differential refractometry. In: Methods in
Enzymology, vol. 27, eds. С. H. W. Hirs and S. N. Timasheff, New York,
Academic Press, p. 209.
Schoenbom B. P., Nunes A. C., 1972. Neutron scattering, Ann. Rev.
Biophys. Bioeng., 1, 529.
Shulman R. G., Eisenberger P., Kincaid В. М., 1978. X-ray absorption
spectroscopy of biological molecules, Ann. Rev. Biophys. Bioeng., 7, 559.
Stuhrmann H. B., 1975. Small angle scattering of proteins in solution,
Brookhaven Symp. Biol., 27, IV-3.
Unwin P. N. Т., Henderson R" 1975. Molecular structure determination by
electron microscopy of unstained crystalline specimens, J. Mol. Biol.,
94, 425.
Приложение Л Основы матричной алгебры
Матрицей называется таблица, элементами которой являются числа или
символы. Например,
/8 7\ /оц а12\
\23 28/ \Й21 а22/
- это м&трицы размером 2x2 (содержащие по две строки и по два столбца);
символ а12
обозначает элемент, принадлежащий первой строке и второму столбцу. В
общем случае
ау представляет собой элемент i-й строки и у'-го столбца. Для левой
матрицы а22 = 28, "21 = 23 и т.д. В этой книге матрицы обозначаются
буквами, выделенными жирным шрифтом со значком "тильда" под ними.
Например, мы можем представить правую из приведенных выше матриц как А,
где
А = (°1 1 М
\а-,, а22/
Матрица-строка (называемая также вектор-строкой) состоит только из одной
строки;
Аг = ("11, а12)
Аг - это матрица размером 1 х 2 (с одной строкой и двумя столбцами).
Матрица-столбец (или вектор-столбец) состоит только из одного столбца:
Ас - это матрица размером 2 х I (с двумя строками и одним столбцом). В
общем случае матрица может быть любого размера - с п строками и т
столбцами.
Перемножение матриц
Две матрицы могут быть перемножены, так что получится третья матрица:
ab = с
Элемент с- матрицы с определяется как
^ij ^ ^ik^kj к
Таким образом, чтобы получить элементы cjy нужно элементы i-й строки
матрицы а попарно перемножить с элементами у'-го столбца матрицы Ь.
Например, если
ОСНОВЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
455
а - (fli 1, Оц)
ab = (ац,а12)
{Ьц Ь|2\ \^21 ^22/
- (а11^11 + а12^21>а11^12 + а12^22)
Таким образом,
с = (Сц,с12) , где
С11 - а11^11 + а12^21 с12 = а11^12 + а12^22
Ясно, что перемножать матрицы можно только в том случае, когда число
столбцов матрицы а равно числу строк матрицы Ь. В общем случае матрицу п
х т можно умножить только на матрицу т х р, где п и р произвольны;
получающаяся матрица имеет размер п х р. В только что рассмотренном
примере для матрицы а и = 1, /и = 2, а для матрицы b т = 2, р = 2;
умножение а на b дает матрицу С размером п х р, или I х 2 (матрица-
строка).
Рассмотрим еще один пример. Пусть
Таким образом, если матрицу 2x2 умножить на матрицу 2x2, произведение
также будет матрицей 2x2.
Если матрицу 1x2 умножить на матрицу 2 х 1, получится матрица 1x1,
которая является просто числом (скаляром) и не рассматривается более как
матрица. Например,
с = ab
2 - (°i i> ai 2)
ab - йцЬц + al2b2i
Если матрица является квадратной (число строк равно числу столбцов), она
может быть возведена в любую степень. Например, для квадратной матрицы М
456
М3 = МММ
Л1
м* = П м
i= 1
(последняя запись означает, что М умножается на себя N раз). Эта операция
возможна только с квадратной матрицей, потому что только в этом случае
выполняется условие, необходимое для перемножения матриц. Отметим также,
что если М имеет размер п х и, то и должна иметь размер п х п.
Нахождение матрицы, обратной данной
Для квадратной матрицы а можно найти обратную матрицу. а ~ ', такую, что
а'а = I
где Ijj = 0 для I Ф у, Iy = 1 для i = j. Матрица ^называется единичной.
Например, если - матрица 2 х 2, то
Отметим, что^обладает тем свойством, что любая матрица, умноженная на
нее, остается неизменной. Таким образом,^аналогична числу 1 в скалярной
алгебре, так что al = а. Найти а-1 сравнительно просто. Пусть, например,
Тогда а 1 находится следующим образом:
а'1 = ( °2^а ~"|2/а) , где сс = а11а22 - а21а12
\-а21/а atl/aJ
т.е. а является детерминантом матрицы а. (Ясно, что для существования а-1
детерминант не должен быть равен нулю.)
Приведение матрицы к диагональному виду
Для матрицы 2x2 существует матрица Т, такая, что
где Xj и Х2 - собственные числа матрицы а, а Т называется преобразующей
матрицей. Вычислить собственные числа не составляет труда. Пусть
ОСНОВЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
457
Чтобы найти Xj и Х2> нужно решить уравнение
аи-Л
0 =
"12
"22 - Я
= (а, 1 - А)(а22 - л) - "12^21 = А2 - (йп + я22)А + fl|jfl22 - Ui2"2i
Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем ^
