Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
418
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
закрытых или открытых с обоих концов, на длине I укладывается целое число длин стоячей волны Act = А/2.
I = Tnkci = TnkfZ, где тп = 1, 2, 3, ...
Собственные частоты колебаний таких систем
mv V ~ 21 '
Для стержней, один конец которых закреплен, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого,
I= (2m-Ihjf =(2т-1)?
и собственные частоты колебаний
= (2тп-1)у V U
§ IY.3.6. Эффект Доплера в акустике
OS
6
и
R
1°. Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемой приемником, которое происходит вследствие
движения источника этих волн и приемника. Например, п при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося поезда тон звукового сигнала последнего выше, а при удалении поезда — ниже тона сигнала, подаваемого тем же поездом, когда он стоит на станции.
Пусть приемник П звуковых волн в газообразной (или жидкой) среде неподвижен относительно нее, а источник И удаляется от приемника со скоростью V1 вдоль соединяющей их прямой (рис. IV.3.6, а). Источник смещается в среде за Рис. IV.3.6 время, равное периоду T0 его
иАа
V2
П
П
И-
R Є
R
п
§ IV.3.6. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В АКУСТИКЕ
419
колебаний, на расстояние U1 T0 = ui/v0, где Vq — частота колебаний источника. Поэтому при движении источника длина волны в среде X отлична от ее значения Xq при неподвижном источнике
где V — фазовая скорость волны в среде. Частота волны, регистрируемая приемником,
V
Если вектор V1 скорости источника направлен под произвольным углом ^1 к радиусу-вектору R, соединяющему неподвижный приемник с источником (рис. IV.3.6, б), то
2°. Если источник неподвижен, а приемник приближается к нему со скоростью V2 вдоль соединяющей их прямой (рис. IV.3.6, в), то длина волны в среде X = X0 = v/v0. Однако скорость распространения волны относительно приемника равна
V + V2, так что частота волны, регистрируемая приемником,
В случае, когда скорость \2 направлена под произвольным углом Ф2 к радиусу-вектору R, соединяющему движущийся приемник с неподвижным источником (рис. IV.3.6, г),
V2
V =V0(1 + -COSti2)-
X = X0 + V1T0 = (v + V1W0 = (u + U1Vv0,
V
3°. В самом общем случае, когда и приемник, и источник звуковых волн движутся относительно среды с произвольными скоростями (рис. IV.3.6, д),
420
ГЛ. IV.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
I H----COStf9
П *
V
V=V0
vI
I + —COStf1
V 1
Эту формулу можно также представить в виде
где V = V1 - \2 — скорость источника волны относительно приемника, а #— угол между векторами У и R. Величина V cos я}, равная проекции У на направление R, называется лучевой скоростью источника. Если U1 <S[ v, то
Глава IV.4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ IV.4.1. Свойства электромагнитных волн
1°. Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т. е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве. Утверждение
о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием уравнений Максвелла (111.14.5.1°). Для электромагнитного поля вдали от порождающих его свободных электрических зарядов (111.4.3.1°) и макроскопических токов (111.12.4.1°) эти уравнения имеют вид1
div D = Oh div B=O.
1 В главе IV.4 все уравнения записаны в СИ.
§ IV.4.1. СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
421
2°. Если среда — однородный и изотропный диэлектрик (IV.3.1.6°), не обладающий сегнетоэлектрическими (111.4.5.1°) или ферромагнитными (111.12.5.1°) свойствами, то D = ее0Е и В = ц.ц0Н, где є и ц — постоянные скалярные величины, не зависящие ни от координат, ни от времени. В этом случае уравнения Максвелла (п. 1°) можно переписать в форме
Эн Эе
rot E = -иНо"^"» r°t H = eeO »t^v E = 0 и div H=O
или в проекциях на оси декартовых координат
ЭEz дЕу _
Ъу
д!л.
Ъг
Э г эE1
дх
BE,, ЪЕ,
Эд:
дЕ,
Ъу
BE,
HH0 эг .
ЪН -WoST ’
ЪН,
-Wo dt '
ЪН
дг
BH1 Ъу
ЪН^ дг дх
- = EE1
ЄЄ,
дН„ дН
Х — ЕЕ
- ЪЕг
U + -^+IF"0'
дх Ъу ЪН„ дН„ дН.
+
+
Ъх Ъу Ъг
дЕх
°~дГ’
ЪЕу
0 э* *
дЕг
°~ЪГ’
= 0.
3°. Из уравнений Максвелла (п. 2°) следует, что векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля и все их проекции на оси декартовых координат удовлетворяют в однородной, изотропной, непроводящей среде волновому уравнению (IV.3.2.9°):
Э2Е
ДЕ - EE0HH0-2 Эг
AEx-EE0HHo
Э*?,
at2
Ъ2Е,
о,
= 0,
э2н
ДН -Ee0HHoTT = °»
AHx -Ee0HHo-
dt
VJI1
at2
= о,
Д^-EEoHHo—г = 0,
AEz -Ee0HH0-
ЪГ
Ъ2Ег
at2
д2Н
AHy - Ee0HHo-T-J^ = °»
Ot
О,
AHz - ее0нНо'
Ъ2Н„
дҐ
= 0.
422
ГЛ. IV.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Таким образом, переменное электромагнитное поле действительно распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна
где с = - А _ = 3 • IO8 м/с.
В вакууме E=P- = I. Поэтому с — скорость электромагнитных волн в вакууме.
4°. Электромагнитные волны — поперечные волны: векторы E и H поля волны лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, т. е. к вектору ее скорости V в рассматриваемой точке поля. В этом проще всего убедиться на примере плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX (IV.3.2.40):