Прикладная лазерная оптика - Климков Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
где f — V^2 kw0/4‘, г — продольная координата, отсчитываемая от плоскости перетяжки; k=2nfk — волновое число; г — поперечная координата; wB — размер сфокусированной перетяжки.
В плоскости перетяжки (« = 0) плотность излучения
М (v) = MBe~v*, а иа оптической оси (и = 0)
М (и) =-В точке па оси (// = 0, t>=0)
Мп
1 + и2
М = М0 = ¦
2Ф
В плоскости перетяжки кружок радиусом t>=l содержит 63% общей энергии, а кружок радиусом 1,5 — 80 %. Любой из этих критериев может быть использован как условленный «размер пятна» или «дифракционный предел». Вдоль оси интенсивность падает наполовину при //=1 и и=—1. Это можно использовать прп определении глубины фокуса. Вблизи фокальной точки линии равной интенсивности представляют собой окружности, а затем вытягиваются в эллипсы, что видно из разложения формул для M(v) и М(и) в ряды Тейлора:
М (и) ~ 1 — и2 + м4 — ы6+ . .;
V4 и6
М (о) ~ 1 — v2 + — — + . .
Остановимся теперь на определении положения перетяжки за фокусирующим компонентом. Как уже указывалось (п. 3 гл. 2), перетяжка преобразованного пучка не является в обычном смысле слова изображением перетяжки исходного пучка. Поэтому при определении положения перетяжки за оптической системой следует пользоваться формулой (31), а не соотношениями геометрической оптики для сопряженных величин. Из формулы (31) следует, что d' зависит от положения перетяжки исходного пучка, фокусного расстояния оптической системы и конфокального параметра исходного пучка.
Иногда бывает необходимо знать, какие предельные положения может занимать плоскость перетяжки сфокусированного пучка в зависимости от параметров исходного пучка и фокусного расстояния оптической системы. Решая выражение (31) относительно d', получим
92
4 (Г н d) + ^
Для определения экстремальных значений rf можно воспользоваться известным правилом нахождения производной, приравнивая ее нулю, так как функция (74) удовлетворяет условиям Дирихле. Таким образом,
dd' 4 (/' )2 14 (f {-d)*-R'l 1
dd ~ 14 (/' -|- rf)2 + R\ I"
откуда получим, что экстремальные значения й равны: dt= — f, — RJ 2; d<2 — — /' + Дч/2,
причем при di имеет место максимум функции rf', а при rf2 — минимум этой функции. Соответствующие этим значениям d экстремальные значения d' равны:
d[ = Г ±(r)VRs; d;=/'-(/')2/i?3- (75)
При изменении d от + оо до —оо величина rf' изменяется на Ad'=2(/')2//?.n.
Если /?;1/2>/', то экстремальному значеншо cl2 соответствует положительное значение, что практически невыполнимо, если исходный пучок выходит непосредственно из лазера. В этом случае при изменении d от 0 до —оо величина rf' меняется от f' + (f')'2/R-, до значения, соответствующего rf —С.
Интересно отметить, что так как у большинства лазеров значение конфокального параметра составляет несколько сотен миллиметров, а фокусирующий компонент короткофокусный, то при любом смещении лазера относительно оптической системы смещение перетяжки преобразованного пучка очень мало. Например, при использовании газового лазера с /?э = 500 мм и линзы с фокусным расстоянием {'—10 мм оно не превышает 0,2 мм.
Однако, когда речь идет о трансформированном пучке, то R:, может достигать очень небольших значений. Тогда небольшие смещения перетяжки пучка относительно последующего компонента могут привести к значительным смещениям перетяжки преобразованного пучка. Кроме того, так как в этом случае R3^i', легко получить как действительную перетяжку, так и мнимую, т. е. сделать пучок на выходе из оптической системы сходящимся или расходящимся при небольших смещениях выходного компонента относительно перетяжки.
Иногда требуется определить размер пятна не в плоскости перетяжки преобразованного пучка, а в фокальной плоскости компонента. Ранее (п. 3 гл. 2) уже отмечалось свойство линзы, благодаря которому в фокальной плоскости линзы наблюдается картина, соответствующая дальней зоне падающего на линзу пучка. Исходя из этого свойства, следует отметить, что размер (диаметр) пятна в задней фокальной плоскости линзы (компонента) 2ш' = ()/'\ где 0 — полный (двойной) угол, соответствующий расходимости исходного пучка.
В работе [39] с помощью геометрооптической модели лазерного пучка решена задача пропускания максимально возможной части энергии через малое отверстие, а в работе [33] получено выра-
93
жение для распределения интенсивности света гауссова пучка
вблизи фокуса безаберрационной линзы.
Таким образом, выбор оптической системы для фокусирования лазерного пучка определяется несколькими противоречивыми факторами. Однако можно дать несколько рекомендаций и предложить следующий порядок выбора и расчета фокусирующей оптической системы.
1. Задаться относительным отверстием D/f' оптического компонента. При этом надо иметь в виду, что чем больше относительное отверстие, тем меньшим может быть выбрано фокусное расстояние компонента. С другой стороны, увеличение относительного отверстия приводит к увеличению аберраций и увеличению размера пятна. Коррекция аберраций приводит к усложнению компонента (увеличению числа линз), что сопровождается увеличением потерь энергии прн прохождении через компонент. Кроме того, увеличение относительного отверстия сопровождается появлением продольных составляющих векторов поля и искажением состояния поляризации по сечению пучка (см. п. 3, гл. 5), что вызывает изменение плотности энергии в сфокусированном пятне. Исходя из вышесказанного, рекомендуем выбирать относительное отверстие не более чем 'Д-
