Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Л-.
К
fee* _ kA* 2 2 mv* ma>2Ai
Sin2 (bit + Cp0), COS2 {at + cp0).
It1
K A
A D
2°. Полная энергия E пружинного маятника
P _ /от2 fee2 _ кАг ?-"2~+~2 Г"'
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходят в соответствии с законом сохранения механической энергии в консервативной системе (1.5.4. Г).
При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая — уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х=0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.
3°. Полная энергия гармонических колебаний пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:
?- 2 ~~ 2 *
На рис. IV.l.8 приведен график потенциальной энергии упругих колебаний пружинного маятника и отложено значение E его полной энергии. Из рисунка видно, что значение амплитуды колебаний х=±А равно смещению маятника в «точках поворота» BnC — крайних точках отклонения маятника от положения равновесия. Амплитуда колебаний маятника с заданной массой и коэффициентом квазиупругой силы определяется запасом его полной энергии:
1
Рис. IV. 1.8
4е. Сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармо-
1.6. СЛОЖЕНИЕ ОДИНАКОВО НАПРАВЛЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 295
нических незатухающих колебаний в любой колебательной системе, где совершаются колебания указанного типа.
Задача. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой смещения 0,04 м. При смещении 0,03 м сила упругости равна 9 •1O-S Н. Определить потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие данному смещению, и полную энергию маятника.
Дано: х=0,03 м, Л=0,04 м, ^=9-10"8 Н.
Найти: П, К, Е.
Решение: Полная энергия маятника равна Е=К-\-П, где К — кинетическая энергия, Я — потенциальная энергия, но Е=кА212, где? — коэффициент квазиупругой силы, определяемый по силе упругости F : k=FIx, где х — абсолютное значение смещения.
Тогда
г, FA* 9-10-5.16.10-« 0. ,л_в77 ? = -2Т= 2-3.10-2 Дж=*2.4-10 "Дж-
Потенциальная энергия
n kx* Fx 9-10"6-3-10-a п , ок іл-e гт Я = -^- = -^- =-?-Дж = 1,35-10 "Дж.
Кинетическая энергия
K = E-II= 1,05-10-" Дж.
1.6. Сложение гармонических одинаково направленных колебаний
1°. Если материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях с одинаковой циклической частотой (IV. 1.1.3°), то происходит сложение гармонических колебаний.
2°. В простейшем случае при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний со смещениями Xi и хг одинаковой циклической частоты со, различающихся своими амплитудами смещений (Ai и A2) и начальными фазами (фі и ф2) (IV.l. 1.4°):
Xi — A1 sin (<ot + фі), хя = А„ sin (cor + ф8),
результирующее гармоническое колебание имеет смещение X=X1ArX2, происходит в том же направлении и является гармоническим колебанием той же частоты:
х = А sin (cot+ ф),
296
ОТДЕЛ IV. ГЛ. 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
где А — амплитуда смещения результирующего колебания, Ф — его начальная фаза. А и ф вычисляются по формулам
А = VА\+ Al+ 2.M2cos (ф,—ф,),
. A, sin + sin CO3
Ф = arc to -~-.-—.
T 0 Ai cos фі +¦ A2 cos (P2
3°. cos^2—фі) не может быть больше -Ни меньше —1, поэтому возможные значения амплитуды А заключены в пределах
Ai +A2^ А^\A2-Аі\.
При этом учитывается, что, по определению амплитуды (IV.l. 1.4°), она не может быть отрицательной.
Рис. IV. 1.9
Рис. IV.l.IO
Частные случаи сложения колебаний:
1) ф2—фі=2ля, где я=0, 1,2,... Тогда cos^2—фі)=1 и А=Аі+Аг. На рис. IV. 1.9 показано сложение двух таких гармонических колебаний.
2) фа—фі=(2п+ 1)я, п=0, 1, 2, ... Тогда cos^a—фі)=> =—1 и A = [Ar-A1[^=[Ai-AiU
Графики зависимости от времени смещений складываемых колебаний с противоположными начальными фазами и смещения результирующего колебания показаны на рис. IV.1.10.
1.7. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
297
1.7. Затухающие колебания
1°. Затухающими называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных гармонических колебаний (IV. 1.1.5°) связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.
2°. Амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени по закону A (t)=A0e~&t, где A0 — начальная амплитуда колебаний в момент времени t=0, определяемая начальным запасом полной энергии колеблющегося тела (IV. 1.5.3°), е — основание натуральных логарифмов, б — коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды, зависящий от сил трения и массы колеблющегося тела. Если сила трения пропорциональна скорости колебаний V, т. е. Fn=—rv, где г — коэффициент трения, то Ь=гІ2т, т — масса тела. Убывание амплитуды затухающих колебаний по закону А =А0е~ы наблюдается лишь при малых затуханиях. Значения амплитуд для моментов времени t, г+Ar, t+2&t и т. д. в этом случае образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен е~й&'.
