Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
X = A sin (wt + ф0), (*)
где А, (ли фо — постоянные величины, причем Л>0, <а>0. Величина А, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины х, называется амплитудой колебания. Выражение шг + фо=Ф определяет значение X в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (/=0) фаза равна начальной фазе ф0.
Иногда вместо зависимости (*) используется выражение х=А COs(CoH-^1), отличающееся от (*) начальной фазой Фі—фо—лУ2.
Простейшим примером гармонического колебания является колебание x по оси Ox проекции конца радиус-вектора точки, движущейся по окружности радиуса А. При ^=O радиус-вектор OB составляет с осью Oy угол ф0, а за время t описывается угол со/, так что в произвольный момент времени х=А sin(coH^o) (Рис- IV. 1.3).
5°. Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо одно-
283 ОТДЕЛ IV. ГЛ. I. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
кратного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия. Например, свободными являются колебания тела, подвешенного на пружине и выведенного однократно из положения равновесия 00' (рис. IV. 1.1, б), колебания маятника, однажды отклоненного на угол а (рис. IV.l.2). При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы, стремящиеся возвратить систему в положение равновесия. Если система консервативна (1.5.2.6°), то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называются незатухающими. Незатухающие свободные колебания в системе возможны лишь при отсутствии трения и любых других сил сопротивления. Очевидно, что незатухающие колебания представляют идеализированный случай колебаний. Реальные свободные колебания и механике являются затухающими (IV. 1.7.Г). Амплитуда незатухающих колебаний не зависит от времени и остается постоянной.
1.2. Скорость и ускорение гармонического колебания
Г. Под модулем V скорости гармонического колебания точки, в соответствии с определением скорости (1.1.3.2°), понимается изменение Ax абсолютного значения смещения
x за достаточно малый промежуток времени: и== Um хг-
Si - о лс
Скорость гармонического колебания, описываемого уравнением (*) (IV. 1.1.4°),
V = соЛ cos (at + ф0) == V0 cos (со/ + ср0) = V0 sin.(го/ -f- л/2 -f- ср0),
где W0=со А есть амплитуда скорости, пропорциональная циклической частоте и амплитуде смещения A (IV.l. 1.4°). Скорость V изменяется по синусоидальному закону с таким же периодом Т, что и смещение х. Фаза скорости опережает фазу смещения (IV.l. 1.4°) на л/2. Например, скорость пружинного маятника максимальна и по абсолютной величине равна амплитуде скорости в момент прохождения маятником положения равновесия (х=0) (рис. IV. 1.1, а). При максимальных смещениях пружинного маятника (х=±А) скорость равна нулю (рис. IV. 1.1, 6').
2°. Под модулем ускорения а гармонического колебания точки, в соответствии с определением ускорения (1.1.4.2°), понимается модуль Ao изменения скорости гармонического
1.2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ 289
колебания за единицу времени:
а-
,. До : hm -г-;-.
Ускорение гармонического колебания, описываемого уравнением (*) (IV.l. 1.4°),
а = — coM sin (at + ф0) == — O0 sin (со/ + ф„) = —о^х,
или
а = а0 sin (at + я + Cp0),
где O41=WM есть амплитуда ускорения, пропорциональная квадрату циклической частоты и амплитуде смещения х (IV.1.1.40).
Ускорение а изменяется по синусоидальному закону с таким же периодом Т, что и смещение х. Фаза ускорения w;v;a
Ь А
О -А
\
о.
7"Tw /
[- VA/ Л ViV /f—
Рис. IV. 1.4
опережает фазу смещения л: на я (рис. IV.l.4). Например, ускорение пружинного маятника (рис. IV. 1.1) равно нулю при прохождении маятником положения равновесия и достигает максимальных значений, равных амплитуде ускорения, при наибольших смещениях пружинного маятника (х=±Л).
Ускорение пружинного маятника всегда направлено к положению его равновесия: удаляясь от положения равновесия, маятник движется замедленно, приближаясь к нему — ускоренно. На рис. IV.l.4 приведены графики зависимости от времени t смещения х, ц и а в предположении, что начальная фаза cp0=0.
3°, Если смещение х изменяется с течением времени по закону гармонического колебания (IV.l. 1.4°), то модуль
290 ОТДЕЛ IV. ГЛ. 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ускорения а всегда прямо пропорционален абсолютному значению х, а направление ускорения всегда противоположно направлению изменения х. Формула а=—со2* справедлива для любых гармонических колебаний и может служить определением таких колебаний.
Задача I. Точка совершает гармонические колебания с периодом 2,0 с. Амплитуда колебания 10 см. Найти смещение, скорость и ускорение точки спустя 0,20 с после ее прохождения через положение равновесия. Начало колебания совпадало с положением равновесия.
Дано: Т=2,0 с, А = 10 см=0,10 м, /=0,20 с, ср0=0.
Найти: х, v, а.
Решение: Смещение х колеблющейся точки
2п
X = A •Sm(CuZ-T-Cp0), X = A sin -jrt, X = 0,10 sin 0,20 м = 0,10 sin 36° м да 0,059 м.
