Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, получаем первые из этих уравнений:
V(O)e(O)* _v(o)e(o)a = 0] дМ + д^О. (30.42)
Здесь и далее все опускания и поднятия индексов производятся при помощи тензоров и g(°)?l/. Таким образом в наинизшем приближении поля удовлетворяют классическим уравнениям движения. В нулевом приближении имеем также серию уравнений для фермион-ных мод:
(ieW^'pW-m)^= 0. (30.43)
Введём следующие обозначения:
К(0)Х р
_ 1 V(°) VWct Sl SC - R^V + Ri0)p к +
+ V(°) - і ] + > И + , (30.44)
RiTHh, h')=1- [дМ(')(А + Л')Л + Л')_
R^PHh', h')] . (30.45)
Нетрудно проверить, что (см. (27.106))
1 r (O)Xp _ S (jV + Л 9ці>)
2 "" Sgxp
(°)
и Ri0PHh, h) - квадратичная форма от тензорного поля h\p, заданная согласно (27.106) (без множителя Ip) с использованием поля gju) вместо поля дМ1/. Таким образом, Л') является сим-
метричной билинейной формой относительно своих аргументов Iitiu и А'д которые ниже являются операторными полями (30.40). Так здесь решена проблема упорядочения операторных полей в наинизшем порядке.
406 Теперь мы можем выписать при помощи формул (27.105 - 106) и (30.44 - 45) следующие соотношения, вытекающие из точных квантовых уравнений при указанном выше разложении. В первом порядке по Iр имеем
^Kj°)xphNXp= 0. (30.46).
Заметим, что с учетом уравнений (30.42) оператор (30.44) обращается в ноль на величине (^ + ?„ ;/J). Поэтому значение оператора (30.44) на полях Iifil, и
+ (30.47)
совпадают для любого векторного поля Этот факт являет-
ся следствием калибровочной инвариантности теории. Пользуясь указанной калибровочной инвариантностью, можно любое решение уравнения (30.46) привести к следующему виду:
V^ V<o)^ = 0. (30.48)
Далее мы будем предполагать, что поле подчинено калибровочному условию (30.48), которое удобно в ряде задач. Очевидно, что с учетом калибровочного условия (30.48) слагаемое в круглых скобках в операторе (30.44) обращается в нуль.
Для выяснения вопроса о нормировке гравитационных мод воспользуемся следующим приемом.
Уравнение движения (30.46) может быть получено при помощи действия
S^ = j d4x Л"" Kf) хр h\p . (30.49)
Отсюда получается канонически сопряженный импульс для поля hfiv и одновременные перестановочные соотношения:
7г"" = V-I7(O) VwoZi"",
Ihliv(X), жЛ'Ы] = іSfr &>v) S^ (х - у). (30.50)
Очевидно, в (30.50) поля свободны от ограничения (30.48). Представим поле IilllS в виде (сравни с первым слагаемым в (30.40)):
Mk). (30.51)
n
407 Набор операторов {А^, Ajv } образует алгебру Гейзенберга (30.1), а функции {/ідГ/ivj удовлетворяют уравнениям (30.46). Из уравнений (30.50-51) вытекают следующие соотношения, отражающие условия ортонормальности набора мод:
і [ d3x VzO^ [^T v(0)0
(30.52)
В последних уравнениях интегрирование идет по любой пространственно подобной гиперповерхности
Вследствие уравнений
(30.46) интегралы (30.52) действительно не зависят от гиперповерхности. Естественно считать, что гравитационные моды удовлетворяют условиям (30.52). Значение равенств (30.52) заключается в том, что при его помощи задается нормировка коэффициентных функций в разложении (30.40).
Во втором порядке по Ip получаем следующие уравнения:
\ K(°J Хр AA^2 Ap = -<)(2) (AJV1 , А*,) , (30.53)
\ K0J ХР ^NllN2 ар = -2 i?W(2) (Ajv1, AJV3) , (30.54)
-ЇЇДО^), (30.55)
* =і (^v ^ -
(30-56)
ikwxp= - e <)(2)(a,v,a,v) +
IArKAr0
+ { E (^"V -Si^WTe (57)
IArKArF
Из уравнения (30.29) видно, что в этом же порядке ~ Ip появляется кручение. Однако мы здесь не выписываем соответствующих поправок для связности.
408 Коротко подытожим полученные результаты.
Согласно динамическому методу квантование гравитации начинается с нахождения решения классических микроскопических полевых уравнений движения (например, решения уравнений (30.42) в рассмотренном выше примере). Классическое решение определяется (или определяет) топологию пространства-времени. Затем при использовании классического решения решаются уравнения (30.43) и (30.46), которые определяют одночастичные моды { фffl , /їлг/нЛ-Для того чтобы решить уравнение (30.46), необходимо зафиксировать калибровку, поскольку оператор (30.44) вырожден вследствие калибровочной инвариантности теории. На первом шаге эти моды определяются в нулевом приближении по планковскому масштабу, а их нормировка фиксируется при помощи соотношений (30.39) и (30.52). Имея набор мод {Ф^ , hpj мы можем явно выписать правые части уравнений (30.53 - 57) и затем решить их относительно двухчастичных мод Ziyv1Ar2 /ші hNlIN2 ^v и т-Д-> а также найти поправку 9^ ?V второго порядка относительно Ip к классической составляющей метрического тензора. Обратим внимание на то, что правая часть уравнения (30.57) возникает вследствие необходимости нормального упорядочения операторов. Решение уравнений (30.57) можно трактовать как однопетлевой вклад в среднее от метрического тензора относительно основного состояния.
Заметим, что если бы в правых частях уравнений (30.53 - 57) использовалась не симметричная билинейная форма, то условие вещественности метрического тензора было бы нарушено. Поэтому условие вещественности метрического тензора определяет упорядочение операторных полей в уравнениях движения, по крайней мере, во втором порядке относительно операторных полей.
