Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В изложенной логической схеме квантования остаётся неясным следующий вопрс: как решаются уравнения (30.18а) или (30.15)? Здесь мы предлагаем решение этой задачи при помощи метода, кото-
?40) I о > = о>
(30.18а)
U^TNi -Oj-
(30.186)
396 рый в § 29 был назван вторым методом квантования (см. пункт 29.2).
Далее мы будем предполагать, что удовлетворяются более слабые уравнения, чем уравнения (30.18):
(0|?4о)|0)с = 0, (OIft^lO)G = O, ... (30.19)
Уравнения (30.19) являются аналогом уравнений (29.28) и (29.51). Подчеркнём, что в (30.19) усреднение идёт лишь по калибровочным степеням свободы системы, операторы Ti^ и т.д. зависят от калибровочных степеней свободы, но не от физических степеней свободы [An1A^n).
Из (3.19) и последующих вычислений (см. следующий пункт) будет видно, что обе версии коммутационных соотношений, (30.46) и (30.46'), ведут к одинаковым результатам.
Предположим далее, что основное состояние |0) является когерентным состоянием относительно калибровочных степеней свободы. Это означает следующее.
Пусть поле (30.8) таково, что в нём можно явно выделить в линейном приближении все калибровочные степени свободы. В теории гравитации таким полем является гравитационное поле (метрический тензор или тетрада), но не поля материи. Представим поле ф(х), являющееся вторым слагаемым в правой части в (30.8), в виде
ф(х)=ф0(х) + ф\{\х) + ф'(х) ,
= + W)' (30-2°)
п
Здесь фо(х) и ф\\п(х) - с-числовые поля, причём набор мод {ф\\п(х)} образует полный набор продольных мод. Иными словами, любое бесконечно малое чисто калибровочное преобразование поля Ф(ж) может быть однозначно разложено по набору ортонормальных (в некой смысле) мод {^||п(®)| ^fin(aO)- В случае теории гравитации продольная часть метрического тензора задаётся выражением (12.14). Поле ф'(х) зависит от операторов {ап, a Ji) не ниже чем квадратично. Естественно считать, что операторы {an,aj, } являются образующими алгебры Гейзенберга:
[am, 4] = Sm,п , [am,an] = 0. (30.21)
397 Предположим, что основное состояние |0) является когерентным по отношению к калибровочным степеням свободы:
ап| 0) = Zn I 0), (0|4 = (0|<. (30.22)
Здесь { zn} - некие комплексные числа. Так как в правой части уравнения (30.8) все операторы {ап, aj,, An, Ah) по определению нормально упорядочены, то
(0 I Ф(.г) I 0 )g = Ф(сі)(ж) + J2 [ФАх)Ам + Ф'м{Х)АІ] + ... .
I N\<N0
(30.23)
В отличие от (30.18), в правой части (30.23) все функции Ф(ы)(х), ф^у(ж) и т.д. являются с-числовыми функциями, зависящими от чисел zn. Обратим внимание на то, что совокупность числовых функций „(ж), фм(х) } образует полный независимый набор функций, по которому можно разложить любую вариацию поля Ф(ж).
Далее мы будем считать, что уравнения Гейзенберга и связей приведены к лагранжевому виду. Это означает, что импульсные переменные V{x) выражены через координатные переменные Ф(г) и их производные при помощи соответствующей части уравнений Гейзенберга и подставлены в уравнения связей и оставшиеся уравнения Гейзенберга. В результате в теории гравитации мы получаем квантовые микроскопические уравнения Эйнштейна и лагранжевы уравнения для полей материи. Термин "микроскопический" в данном случае означает, что тензор энергии-импульса в уравнении Эйнштейна явно выражен через поля материи (скалярные, векторные, спинорные и т.д.), а термин "квантовый" - что все поля в уравнениях Эйнштейна-Лагранжа являются квантованными.
Ниже совокупность квантовых микроскопических уравнений движения и связей в лагранжевой форме мы называем коротко уравнениями движения.
Проблема упорядочения операторных полей в уравнениях движения не может быть решена в рамках столь общего рассмотрения. По-видимому, эта проблема связана с проблемой непротиворечивости (самосогласованности) теории и может быть решена лишь вместе с разработкой эффективной вычислительной схемы.
Усредним уравнения движения относительно калибровочных сте-
398 пеней свободы. Чтобы в уравнениях движения под знаком среднего
(О I ^T,,}|0)g = 0 (30.24)
воспользоваться соотношениями (30.22), необходимо нормально упорядочить совокупность операторов {ап, а\} в фигурных скобках в (30.24). Поскольку поле Ф(г) (или g?v{x)) является рядом по полю «^(ж) и его производных (см. (3.20)), то в результате такого упорядочения возникают суммы вида
Х>ІІпод„(*). XMaO^iUW' (30-25)
п п
и т.д. В суммах (30.25) индекс п, нумерующий калибровочные степени свободы, пробегает все свои значения. Очень важно, что физические величины не зависят от калибровочных степеней свободы. Поэтому регуляризация по калибровочным степеням свободы не требуется. Это означает, что в суммах (30.25) суммирование действительно идет по всем п. Следовательно, суммы в (30.25) пропорциональны интегралам вида
f dD~lh
Jf (30-26)
где D - размерность пространства-времени и P(\k\,ki) - полиномы по положительным степеням ki, причём среди полиномов в (30.26) содержится, вообще говоря, полином нулевой степени Po{\k\,ki) = 1.
Действительно, рассмотрим поле
