История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
dw, равно
f(u, v, w, х) dx du dv dw.
Один из этих электронов (допустим, что он избежал столкновения) за
промежуток времени dt переместится из положения (ж, у, г) в положение (х
+ udt, у + vdt, z + w dt); в конце промежутка его составляющая скорости
по х увеличится на eEdt/m, если ш е обозначают его массу и заряд, а Е -
электрическую силу. Допустим, что количество электронов, потерянное этой
группой при столкновениях за промежуток времени dt, равно a dx du dv dw
dt, а количество электронов, присоединившихся к этой группе при
столкновениях за тот же самый промежуток времени, равно bdxdudvdwdt.
Тогда
1Amsterdam Proc. (английское изд.), VII (1904-5), стр. 438, 585, 684.
496
Глава 13
мы имеем
f(u, v: w, х) + (b - a) dt = f(u + eE dt/m, г>, w, x + udt), и
следовательно,
, eE 9f df
b - a = -p-y- ---1- w -- •
m aw ax
Далее, закон распределения скоростей, который Максвелл постулировал для
молекул идеального газа, находящегося в состоянии покоя, выражается
уравнением
/ = 7r"3/2a"3iVe"r2/"2,
где N обозначает количество движущихся корпускул в единичном
/ 2
объеме, г - результирующую скорости корпускулы (так что г =
2 2 2 \
= м +v +W ), а а - постоянную, которая характеризует среднюю
интенсивность возмущения, и следовательно, температуру. Предполагается,
что закон распределения скоростей между электронами в металле имеет почти
такую же форму; только нужно добавить еще одно слагаемое, которое
представляет общий дрейф электронов параллельно оси х. Простейшее
допущение, которое можно сделать относительно этого слагаемого, имеет
форму
и X функция исключительно г,
поэтому мы запишем
/ = jV7r~3/2a~3e~r + их(г).
Теперь значение Х(г) можно определить из уравнения
, eE df df
Ь~а= +udff
поскольку в левой части уравнения слагаемое Максвелла
_ 3
7г 2a~3Ne "2
в результате дало бы нуль, так как в системе Максвелла b равно а; поэтому
Ъ - а должно зависеть исключительно от слагаемого их(г). Исследование
обстоятельств столкновения, по способу кинетической теории газов,
показывает, что (b - а) должно иметь форму - игх(г)/1, где I обозначает
постоянную, которая тесно связана
Классическая теория в эпоху Лоренца
497
со средней свободной траекторией движения электронов. С другой стороны, в
слагаемых, которые находятся в правой части уравнения, слагаемое
Максвелла дает результат, отличный от нуля, и, по сравнению с ним, можно
пренебречь слагаемыми, которые создает их(г). Таким образом, мы имеем
ш'Х{г) _ (еЕд_ д_\ N г*1с?
I \т ди + адх)
ИЛИ
UY(r) = _JlL_ . e-r*/с? . /2eNE _ А(К) _ 2Nrlda\ ахкг) ^3/2г \ ша5
dx{a3) аб dx\
итак, закон распределения скоростей определен.
Электрический ток г определяется уравнением
г = е
JJJ uf(u, v, w)dudvdw,
где интеграл берется по всем возможным значениям составляющих скорости
электронов. Слагаемое Максвелла по f(u, v, w) не делает в этот интеграл
никакого вклада, поэтому мы имеем
г = е
IJJ u2x{r) du dv dw.
После интегрирования эта формула превращается в
"¦ _ le (2eNE adN j^-da
Sty1/2 V ma dx dx
или
771 3n1/2m a ¦ . rri (a2 dN . da\
E=^i^Nl + Te{N^+ad^J-
Очевидно, что коэффициент при i в этом уравнении должен представлять
омическое удельное сопротивление металла; поэтому, обозначив удельную
проводимость за /у, получаем
4 le2 N
7 =
Эд1/2?(tm)
а '
Теперь применим это уравнение к случаю, когда два металла А и В находятся
в контакте при одной и той же температуре Т, образуя разомкнутый контур,
в котором отсутствует проводимость тепла
498
Глава 13
или электричества (так что г и dctjdx равны нулю). Интегрируя уравнение
р _ та/ dN 2 eN dx
по стыку металлов, имеем
п та2 1 " Nb .
Разрыв потенциала на стыке = -^- log ;
3 2
или, поскольку та , которая представляет среднюю кинетическую энергию
электрона, согласно допущению Друде, равна qT, где q обозначает
универсальную постоянную, мы имеем
г, Nb
Разрыв потенциала на стыке = - 1 log ¦
Это можно интерпретировать как разность потенциалов, связанную с эффектом
Пельтье1, на стыке двух металлов. Произведение разности потенциалов и
тока измеряет выделение тепла на стыке. Разрыв потенциала Пельтье имеет
порядок тысячной вольта, и его не нужно путать с контактной разностью
потенциалов Вольта, которая обычно имеет гораздо большее значение и
которая, в силу своей зависимости от отношения металлов к среде, в
которую они погружены, не входит в сферу настоящего исследования.
Возвращаясь к общим уравнениям, мы видим, что поток энергии W параллелен
оси х и дается уравнением
W=^m
где интегрирование опять распространяется по всем возможным значениям
составляющих скорости. Выполняя интегрирование, мы имеем
w = 2rnL /- а3^ _ зNa2^) ;
Зтг1/2 V 111 ах ах/
или, заменяя Е уже найденным выражением,
w = met- _ Ami N 2 da e Зд!/2 dx'
гСм. стр. 284.
Классическая теория в эпоху Лорени,а
499
к = 77 7г 1/2laqN.
Теперь рассмотрим случай, когда тепло проводится, а электри-чество - нет.
Поток энергии будет в этом случае выражаться уравнением
W=-k^-,
