Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
шумом, имеющим спектральную интенсивность 2N. Этот случай, как известно,
можно формулировать так: наблюдаются два диффузионных процесса { у\
(t) },
Р (хв = а | у(а) = wa (о) р* (а, й).
V Cta (uta, а) Р (ха = а I у'а),
а
§ 9.3. ПРИМЕР АПОСТЕРИОРНОГО ПРОЦЕССА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
(9.10)
207
которые при фиксированном а описываются параметрами сноса
аг (t) = В0 cos а; а2 (t) = В0 sin а
и матрицей локальных дисперсий
(ьп Ьъ\ = (N О
W21 ^22/ \0 N
Применяя формулы (6.47), (6.48) к данному примеру, получаем апостериорный
инфинитезимальный оператор
d.L* (С) = - dt D --J-(cos a d"y, 4- sin a d*y2).
2 да2 N 1
Если его записать в форме
dL* (t) = A*dt + А*р d*ур,
то, очевидно,
А* = - D --; cos а; А*2 = sin а.
2 да2 N N
Используем формулу (3.71), чтобы найти инфинитезимальный оператор
dL (t) = Adt + Apdyp.
Она дает
А - А" 5- А*рА*аЬро = D ---------------!------ cos2 а------------ sin2a
2 р F 2 да2 2 N 2 N
(Ар = Al).
Следовательно,
dL(t) = - dtD --(cos a dy, -f sin a dz/2)------------ dC. (9.10)
2 da2 N 2N
Теперь мы можем записать основное уравнение оптимальной фильтрации
(5.57), (5.61), (5.66), определяющее апостериорные вероятности Wt,
которое соответствует блоку 1 на рисунке стр. 205. Если
, . wt (da) wt (a) =----'
da
апостериорная плотность распределения вероятностей, то согласно (9.10),
(5.66) имеем
dwt (a) = _L dtD d2-fJa) + [(cos a - cx) dy1 +
+ (sina - s^dy^Wfia), C9.ll)
208
где обозначено
сх = Mps cos а = | cos a wt (a) da; = Mps sin a = j" sin a wt (a) da.
При фиксации начальной плотности, скажем т>(0(а) = рз (а), это уравнение
однозначно определяет апостериорную меру.
Если задать критерий качества при помощи функции штрафа С (и, а), то мы
можем найти теперь оптимальное оценочное значение и (?)=ao (t) - dt (у *)
неизвестной фазы (здесь dt - решающий алгоритм). Оно соответствует
минимуму выражения:
min J С a) wt (a) da = j С (a0 (t), a) wt (a) da. (9.12)
Выберем для определенности квадратичный критерий качества по отношению к
узкополосному сигналу B0cos(co0^ + a)-Именно, положим
0)0
С(и,а)=---^~ Г \B0cos(a>0t'+ и) - B0tos (со0Г -f- а)]2^' = 2я J
t
= Во [1 - cos (и - а)].
Тогда в (9.12) минимизации будет подвергаться выражение j С (и, a)wt(a)da
- Е>1[\ -Cjcos и - Sj sinw]. (9.13)
Минимум этого выражения находится без труда. Оценочное значение фазы
определяется соотношениями
Si • Si
1 ¦ С 1 П п. ----_
tga0=-; sin a0 =
,2
Vsf + c*
Следовательно, оценочный, т. е. отфильтрованный узкополосный сигнал можно
записать
s0(t) - В0 cos (&у + a") = В0 - Cl - ¦ cos a>0t -
V А + А
- 5°-?==-sin(o°E (9.14)
Оконечный блок II на рисунке выдает оценочное значение фазы cio (t) =
arctg - или отфильтрованный сигнал (9.14).
Cl
209
Чтобы облегчить конструирование блока I (см. рис.), уравнение (9.11) для
плотности распределения wt (а) может быть заменено на эквивалентные
уравнения, записанные для совершенно других параметров, заменяющих wt
(а). Так, .например, можно ввести параметры s" (t), с" (t), n=l, 2, ...,
определяемые формулой
оо
wt(а) = -!- + - V (s" (0 sin "а + с" (0 cos па), (9.15)
ZJT JT
П-1
т. е.
2я
sn (t) = Nlps sin па = | sin na wt(a) da; о
2ji
cn {t) - j" cos па wt (a)da. (9.16)
o
Подставляя (9.15) в (9.11) и приравнивая порознь члены, соответствующие
различным функциям sin па, cos па, получаем для параметров (9.16) систему
уравнений
dSj = - Y Dsjdt + dyl (s2 - 2Slq) + А- dy2 (1 - c2 - 2sf);
dct=------l- Dcjdt + ^-dy1(l+c1 - 2c*) +
+ J^dyi(si-2s1c1y, (9.17)
dsn = ~Y Dn\dt + dy1 (s"_i'+ s"+i - 2s"q) +
+ dys (c"_! - cn+1 - 2sjSn);
dcn = - Dn2cndt + -J^- dy1 (c"+1 + cn^ - 2clcn) +
+ dy2 (s"+i - sn^ - 2Slc"),
n = 2, 3, . . .
Она эквивалентна уравнению (9.11), и блок I может быть синтезирован в
соответствии с этими уравнениями.
Начальное распределение естественно выбрать равномерным. Это
соответствует нулевым начальным условиям:
sn(^0) = 0; сп (/") = 0, " = 1,2,...
210
Процессы Si (t) сi (/), вырабатываемые в блоке I, можно непосредственно
использовать для воспроизведения отфильтрованного сигнала в соответствии
с формулой (9.14), а также для оценки качества фильтрации. Из (9.13)
имеем
М [С (do, а) I у*а] = Bl [1 - Vs2i (0 + cf (01;
МС(а0, а) = 5(jM[l ~ Vs\{t) + c\{t)}.
Следозательно, зная Si (/), Ci (/), можно судить о величине средних
штрафов.
§ 9.4. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССОВ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
1. Пусть теперь априорный процесс {xt} является одномерным марковским
процессом на прямой и описывается ин-финитезимальным оператором
dL (t) = ( - - 1- а (х) dt
ргК \ 2 дх* дх J
(Ъ константа). Наблюдается сумма его и белого шума, или, это по существу
то же, наблюдаемым является процесс
t
Hi (t) = J *(т) dx + %(t), (9.18)
*
где t, (t)-винеровский процесс: M? = 0; N\.At,2 = NAt. Очевидно, что
процесс (9.18) имеет параметр сноса ах = х и ло- _ кальную дисперсию Ьц =
N.
Используя, как и в § 9.3, формулы (6.47), (6.48), а также (3.71), находим
апостериорные инфинитезимальные операторы
