Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
проблема решается установлением и разрешением уравнений регрессии.
Последние уравнения, разрешение которых тривиально в случае небольшого
числа случайных величин, обращаются, однако, в бесконечную систему
уравнений или в интегральное уравнение (в частности, в уравнение Винера-
Хопфа) при бесконечном числе случайных величин, например, при
стационарном процессе. Классическое решение этих уравнений для
стационарного случая (на полупрямой) дано Колмогоровым [2] и Винером [1].
Эти результаты вошли в многочисленные учебники и послужили отправным
пунктом для построения нестационарных обобщений.
Ряд результатов в этом направлении изложен в книгах Ленинга и Беттина [I]
и Пугачева [1].
Нужно отметить, что эффективное явное решение уравнений регрессии для
полубесконечного или конечного интервала в стационарном случае возможно
лишь для процессов с рациональной спектральной плотностью, хотя теория
Колмогорова-Винера позволяет записать решение в виде интегралов для
несколько более общего случая. Гауссов процесс с рациональной
спектральной плотностью, как известно, является компонентом многомерного
марковского процесса. Поэтому эффективное решение задачи линейной
фильтрации оказывается тесно связанным с марковским свойством процесса.
Отсюда вытекает утверждение, что эффективное решение задачи линейной
фильтрации возможно тогда и только тогда, когда процесс попадает в сферу
компетенции теории условных процессов Маркова. Этот внешне не очевидный
вывод показывает тесную взаимосвязь двух теорий, совершенно различных по
содержанию и исходным предпосылкам: в одной рассматриваются линейные
преобразования, среднеквадратичный критерий и любые процессы, в другой -
любые преобразования, любой критерий и марковские процессы.
Кроме методов, основывающихся на теории условных марковских процессов,
возможны также другие пути решения проблемы оптимальной фильтрации. К
числу первых работ по нелинейной фильтрации относится работа Заде [I], в
которой отыскивается оптимальное преобразование среди нелинейных
преобразований определенного класса. Другая форма нелинейных
преобразований рассматривается в работе Кузнецова, Стратоновича, Тихонова
[2]. При таком подходе неизвестными являются коэффициенты разложения
искомого преобразования по выбранным функциям. Для этих коэффициентов
выписывается система уравнений, решение которых является весьма трудным.
199
В некоторых специальных задачах оказываются целесообразными особые
подходы к проблеме нелинейной фильтрации. Так, для фильтрации импульсных
сигналов автором [9] был разработан метод, основывающийся на теории
коррелированных случайных точек (Стратонович [8], § 6).
Решение проблемы нелинейной фильтрации при помощи теории условных
марковских процессов имеет перед прочими методами ряд особых преимуществ.
Для этой теории характерными являются рекуррентные преобразования
апостериорных мер. Основное звено нелинейной фильтрующей системы может
быть синтезировано как устройство, осуществляющее эти рекуррентные
преобразования. Алгоритм этих преобразований определяется без особого
труда и может быть реализован как блок с обратной связью. Таким образом,
синтез фильтрующей системы не связан с решением трудоемких вычислительных
задач. Результирующее сложное нелинейное преобразование является
следствием более простых поэтапных преобразований. Конечно, возможны и
другие варианты применения теории. В случае непрерывного времени и
диффузионного характера процессов для теории адекватным является аппарат
дифференциальных уравнений. Это обстоятельство приводит к ряду
благоприятных следствий. Благодаря ему оказывается возможным решать не
только задачи фильтрации, рассматривая апостериорные вероятности, но и
более сложные "вторичные" задачи, рассматривая функции от апостериорных
вероятностей. Для этих функций также удается получить
дифференциальныедравнения, которым соответствует вторичный апостериорный
инфинитезимальный оператор (§5.6 и § 6.4). Вторичные задачи возникают при
исследовании качества работы нелинейной фильтрующей системы. Теория
условных марковских процессов позволяет записать уравнение для функции
средних потерь.
Подобное уравнение используется в § 9.6, где для одной частной задачи
производится сравнение эффективности линейной и нелинейной фильтрации.
Задача выбрана такой, что она попадает в сферу действия обоих теорий.
Поскольку теория линейной фильтрации отыскивает оптимальное
преобразование в классе линейных преобразований, а теория нелинейной
фильтрации - в классе всех преобразований, то нелинейная фильтрация дает
заведомо лучшие результаты. Вопрос стоит о величине расхождения. Для
обоих оптимальных преобразований удается найти точное выражение для
средних рисков. Сравнение показывает, что отношение среднего риска
линейного преобразования к риску нелинейного стремится к бесконечности,
когда интенсивность помехи стремится к нулю (т. е. когда каждый из рисков
стремится к нулю). Сравнение качества линейной и нелинейной фильтрации
