Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Q = QT. qsk = qks> qsk = qks, q*k = q-* = q\ (15)
(нет нужды указывать, с какого места поднят индекс). Для симметричного
тензора
Q = QT: Q-a = aQ. (16)
Простейшие примеры: диада аа, единичный тензор Е.
Кососимметричный тензор определяется условием
QT = - Q, qks = -Qsk, qks^-qsk, qsk==-qf, (17)
его диагональные компоненты равны нулю. Матрица компонент симметричного
тензора задается шестью, кососимметричного-тремя компонентами. Тензор Q
428
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
может быть представлен разбиением на симметричную и кососимметричную
части
Q = y (Q+QT)+y(Q-QT)-S+?i, S = ST = 1(Q + QT),
?2=у (Q -QT) = - ?iT. (18)
Для экономии места здесь не были упомянуты очевидные предложения, что
умножение тензора на число (скаляр) представляет тензор с компонентами,
равными произведению на это число компонент тензора, что сумма тензоров
также тензор с компонентами, равными сумме компонент слагаемых тензоров.
Возвращаясь к формулам (4) и (5), запишем выражение скалярного
произведения
c-b = b- C"C-Q-a-a-QT-c = qskcsafi (19)
- билинейная форма компонент векторов а и с, образуемая матрицей компо.
нент Q, инвариантна-ее численное значение . не зависит от выбора базиса.
Инвариантна также квадратичная форма компонент а
9^й^а^ = а-0-а = а-0т-а. (20)
В этом равенстве содержится еще одно определение симметричного тензора
второго ранга-физической величины, с помощью которой вектору а
сопоставляется инвариантная квадратичная форма его компонент. Заданием
квадратичной формы определяется только симметричная часть S тензора Q,
так как по (18)
a*?i-a = a-?iT-a = - а- ?}-а = 0.
§ 5. Определитель тензора
По формулам (4.9)
II Qst II=J Q'smgmt [| = [I qmtgsrn I; II qst II = [| qs.mgmt ||=| qigms
j|;
о (1.9), (1.11) и по правилу умножения определителей
\qst\=g\qmt\=g\q-sm\, l?'5fl=yKm|=yK|- (1)
Определителем det Q тензора Q называют определитель его смешанных
компонент
det Q= | qsj | = | Я'* | = j \qst I =g \ qst \ = det QT. (2)
В формуле (2.5) возьмем одно из шести размещений индексов тпр, например
123; придем к равенству
6s1 ч ч г/ q'i -cs M to
ч ч ч .я .ч QiQfqз = я" q'i q'i
ч ч ч I q'i q'i q'i
Этот же результат получим при любом другом размещении индексов тпр.
Поэтому
detQ = (3)
§6]
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ. ОБРАТНЫЙ ТЕНЗОР
429
Тензор Q называют неособенным, если det Q Ф 0. Кососимметричный тензор -
особенный, особенный тензор-диада векторов ab.
Коэффициент при q'j. в (3) представляет алгебраическое дополнение этого
элемента, обозначаемое А'[. Но q'j: встречается в (3) три раза: (l = s, г
= т), (/ = &, r = n), (l = t, г = р). Поэтому
А? =(4)
Произведение матриц |<7^[] и |]А^| представляет матрицу
II С |! I] А? II = II я* А? | = 11 etkteinPq-Sq.kq.k | .
Но при q 7= т в числе индексов qnp неизбежно повторение, так как в тройке
тпр повторений по условию нет. Если же справа заменить q на т, то
требуемый результат утроится: вступит в действие правило суммирования по
т. Итак, возвращаясь к (3), имеем
( 0 при q ф т
||?mV = =6?detQ. (5)
t det Q при q = m
Тензором алгебраических дополнений матрицы тензора назовем определяемый
по (4) тензор
Qx = ytfr^ = l esktrsemflrTmq*q-t =
= у Тк хrtq-?rn XTPq-* = у (rfe Xrt) (Q• г*) X (Q• r<), (6)
представленный через диады r^Xr*,
Если тензор Q-неособенный, то матрице его компонент может быть
сопоставлена по (4) матрица
I*' 1=I А' 1 ¦ |7)
по (5) обратная матрице компонент Q
II Я№ I = 1 6'!. (8)
§ 6. Произведение тензоров. Обратный тензор
Двум тензорам второго ранга Р, Q и вектору а сопоставляется вектор
c = P.b = P.(Q.a). Записав эту операцию в виде c=(P-Q)-a, мы вводим
в рас-
смотрение величину R = P-Q; это - тензор второго ранга, так как
произведение R на а справа определяет вектор с-R-a. Компоненты этого
тензора выражаются через компоненты сомножителей одним из выражений
P-Q = pstrsrt-q(tm)rlrmrn =PstqtnTsrn^=p-stqiqrsrc' (1)
и т. д. Аналогично определяется произведение трех, четырех и т. д.
тензоров, в частности, целые положительные степени тензора
Q2 = Q-Q = ^f<)Wn, Q3 = qstqtnQnmrs^m- (2)
Непосредственно проверяется правило транспонирования
(P-Q)T = QT-PT, (PQR)T=RTQTPT. (3)
430
ПРИЛОЖЕНИИ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
В частности, (Q-QT)T - Q-Qr, так как QTT = Q-тензор Q-QT симметричен.
Произведение тензора на единичный тензор Е справа или слева приводит к
этомс же тензору, любая степень единичного тензора - единичный тензор;
определитель произведения тензоров равен произведению их определителей
QE = EQ=Q, Е-Е = Е2 - Е, Е" = Е, det P Q^ det P-det Q. (4)
Обратный тензор. Неособенному тензору Q сопоставляется обратный тен' зор
Q-1 с помощью соотношения
Q.Q-1 Е. (5)
Диадное представление Q-1 по (5.8), (5.6) записывается в виде
Q-i ^(QrtXr( (Q-r*)X(Q-r<). (6)
Решение системы уравнений (4.1) можно с помощью тензора Q~l записать в
виде
a -Q_1-b, (7)
как это сразу же следует по (4.5) и (5). Легко проверяются равенства det
Q-1 - (det Q)~l, (P-Q)-H Q-i.p-1, (QT)_1 - (Q_1)r,
(Q-1)-1- Q. (8)
