Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 595

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 589 590 591 592 593 594 < 595 > 596 597 598 599 600 601 .. 742 >> Следующая

h (Qxa) = qstametmqrs-ri = qstametms = qsia^esmt = 0,
/1(aXQ) = 0.
К числу тензоров третьего ранга, сопоставляемых тензору ЕЕ, принадлежит
тензор Леви-Чивита
- ЕХЕ = - г^Хг*Г/5 = - rsrtrkeski = rsrtrkesik, е = -ЕхЕ. (8)
Представление (11.8) тензора Й через сопутствующий вектор m теперь
преобразуется к виду
Й = тхЕ = т-ЕхЕ = -т*е = -е-т. (9)
Соотношение (8) применяется к преобразованию векторных произведений.
Приходим к знакомым соотношениям (11.3)
ахо> = а-ЕхЕ-ш = - а-е-т = а-й, тха=й-а, (10)
применимым и к тензорам любого ранга
QXm = Q.ExE-m = -Q.e-m = QQ, mXQ = Q-Q. (11)
В применении к тензорам Q-QT, QT-Q по (4.18) и (1.4) имеем Q-QT = (S+Q)-
(S - Q) = S2+O.S-S.O - Q2=S2 + mxS+(mXS)T +
-fEm-m - mm, (12) QT.Q = S2-mxS -(mxS)T+Em-m-mm. (13)
444
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Однократное свертывание тензора шестого ранга ее приводит к тензору
четвертого ранга
е-е = (ЕхЕ)-(ЕхЕ) = ЕхЕхЕ = г srs X rfTtXr^rk =
= est4eikmxsT(lrmrk= {§1§т-OI) r5r"r"rft =
= rsrftrV - r^r'V = Cn - Cm.
Здесь введены обозначения тензоров четвертого ранга, названных далее
изотропными
Сц=г4.г^Ог*, Cnl = rsrftrV = r4.Er^. (14)
Приходим к соотношению
е-е = ЕхЕхЕ = Сц-Сщ. (15)
При двукратном свертывании
е- •e = rJrft-rJr/'-rsrm-rmts = Е - ЗЕ = - 2Е. (1(5)
Следствием этого соотношения является обращение формул (8) и (11.8)
е--Й = - е-•е-ш = 2Е-(о = 2о), со = -^-е--Й. (17)
В частности, по (11.1) сопутствующий диаде ab вектор
ю=-^-Ьха (18)
и по (17) векторное произведение axb оказывается представимым в виде
ах b = e--(ba - ab), ba-ab = Ex(axb). (19)
Замечание. Применяется обозначение векторного произведения в форме
"векторного инварианта"
y(ab - ba)^ = у (axb -bxa) = axb.
§ 15. Изотропные тензоры
Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при
любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно,
произведение изотропного тензора на скаляр - изотропный тензор.
Единичный тензор - единственный изотропный тензор второго ранга, его,
например, ковариантные компоненты в исходном и повернутом базисах равны
gsk = rsrk = r's-0-0'T-rii = r's-rk = g'sk.
Отличных от Я.Е изотропных тензоров второго ранга нет.
Тензоры высшего ранга, представляемые через тензор Е, изотропны. Таков,
согласно (14.8). тензор третьего ранга Леви-Чивита е; Хе-единственный
изотропный тензор третьего ранга *).
Тензорами четвертого ранга, образуемыми по Е, является тензор ЕЕ и по
(14.15) тензор Си-Сщ. Но и каждый по отдельности тензор Сц, Сщ изотропен.
Действительно, по (8.5), (8.8)
VrS = Vs ' ОктТкТ'п = 0Sm Хт, rs = • ОтТтТп = ofrn.
*) Компоненты е меняют знак при несобственно ортогональном
преобразовании. Такие тензоры (нечетного ранга) называют демитропными.
§15]
ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ
445
так что
r'^Ers = osmosn гиЕг" = ЬтГт Er" = rmErm Сш.
Для трех изотропных тензоров четвертого ранга
C1 = EE = ririrfers, C,i=r5rferVs Сп, = г^Ег^ = г^гМ (1)
возможны эквивалентные записи. В каждой из диад r^ri, г*г* тензора С[
допустима замена верхнего индекса нижним, нижнего верхним, тензор
остается равным ЕЕ. В Сц переставимы диады г^, г5г*. Их можно записать и
в видах rsrk, r^r;;. В Сш переставимы первый вектор с четвертым, второй с
третьим. Например,
Сц =rsrAr*rft = gigr'7r*gi"'r"!r* = &(tm)rVrkrmrk = r9rkTqrk
и т. д. Изомером тензора называют тензор, получающийся из данного при
перестановках индексов базисных векторов. Например, QT - изомер Q,
изомерами тензора саьсгагьтс является тензор саЬсгсгать и т. д.
Существует п! изомеров тензора n-го ранга, их число уменьшается при
наличии симметрий структуры тензора. Так из общего числа 24 изомеров
изотропного тензора четвертого ранга несводимы друг к другу только три
тензора (1).
Общее выражение изотропного тензора четвертого ранга поэтому записывается
в виде
4С = ХЕЕ~1- ц (Сц - CinH-v (Сщ-f Сп). (2)
(3)
Двукратные свертывания с тензором второго ранга приводят к тензорам С] •
*Q = EJ1 (Q) = Q--С], Сц •-Q = Q--Сц = QT, Сщ--Q = Q--Сщ =Q. (4)
Поэтому двукратное свертывание с (Сц + Сщ) выделяет симметричную, а
с (Сщ-Сц) - кососимметричную часть Q. Приходим к соотношению
Двукратное свертывание Св- •Ci (К, L = 1,
одному из этих же изотропных тензоров, как :
с, Сц СШ
Ci зсх Ci Ci
Сц Cl Сщ Сц
Сш Ci Сц сш
^с1+2-МсП + сш) +у v (сШ"сл)
•Q = ^E/1(Q) + jxS + vfl. (5)
На правилах (7.16) основываются соотношения (А, В-тензоры второго ранга)
(С,--А)-В = /1(А)В, Сц •А-В = Е/х (А-В), (6)
(СП--А).В = АТ.В, СП--А-В = ВТ-АТ, (7)
(Сщ"А)-В = А-В, СШ--А-В=А-В. (8)
Найдут применение формулы
СГА = ЕА, С11ГА = А-Ст. (9)
Свертки тензоров (их всего 9)
CK-CL, К, 1 = 1, II, III (10)
•- изотропные тензоры шестого ранга. Но это не все такие тензоры, к ним
надо добавить каждое слагаемое представления по базисным векторам
446
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
тензора ее. По (2.5)
8f 8" 6f
ee = rVrArmr"r/, 6? 8? 8? =
К К К
= iVr* [г" (гггА-г*гг) + Г((гАг^-r^rA) + rft (rsrt-TtTs)}. (11)
В формулах (10), (11) представлены 15 изотропных тензоров шестого
Предыдущая << 1 .. 589 590 591 592 593 594 < 595 > 596 597 598 599 600 601 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed