Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
о
КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
133
где k' и k связаны условием Комптона, налагаемым б-функцией в (7.69):
k = 1 + (A/m) (1 -cos0) = 1 + (2к/т) sin2 (0/2) ’ ^7,7°)
Формула (7.68) принимает теперь следующий вид:
— = а2 Г—') I й (Pf, s{) (е ------1-----ё +
dQ V к ) | ’ ’ \ pi + k — т
2
». “ k
1 \ 2
+ ё-------Т>----e)u(pi, s^
п )
(7.71)
Она дает дифференциальное сечение для случая, когда электроны и фотоны поляризованы как в начальном, так и в конечном состояниях. Спинорную структуру матричного элемента можно упростить выбором специальной калибровки, в которой начальный и конечный фотоны поперечно поляризованы в лабораторной системе отсчета, т. е.
= (0, е), е ¦ к = О,
= (0 • е'), г' ¦ к' = 0.
При таком выборе е-Pi = е' ¦ Pi = 0 и спинорная часть матричного элемента сводится к
-/ Pi+b + m . , . Pi-k' + m \
“(Pf’ sf^e 2k-р{ 6 + 6 — 2k' • P{ 8 )ui-P‘’ =
-i ч / e'efi , tte'k' \ , 4
= -u(pf, Sf)(-2k^:+2F-^)u(Pi, st),
где мы переставили ёи ё' справа налево и, как и прежде, воспользовались следующим свойством дираковских спиноров: (pi + m) ёи (pi, = ё (—pi + m)u (pu sf) = 0.
Подставляя полученный результат в (7.71), суммируя по спиновым состояниям Sf конечного электрона и усредняя по начальным спиновым состояниям Si, получаем с помощью (7.13) сечение для неполяризованного электрона
da ____ 1 у» do_
dQ. ~ ~2 Zj Ж"
±V
a2 / k'\2 pj + m / e'ek ггк \ p.-\-m / kee' fi'e'e \
2 V к ) 2m V* 2k ¦ pt 2k' ¦ p{ ) 2m ^ 2? • 2k' • )'
(7.72)
В этой формуле мы сталкиваемся со следами от произведений большого числа матриц у, вплоть до восьми. Имеются три отличных друг от друга следа, которые необходимо вычислить; из циклической симметрии следа и теоремы 6 § 26 следует, что
134 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ [ГЛ. 7
два перекрестных члена, имеющие в знаменателе (k-pi) (k'-pi), равны друг другу. Для упрощения сложных следов, содержащих один и тот же вектор более одного раза, обычно бывает целесообразно переставить сомножители таким образом, чтобы одинаковые векторы оказались рядом; тогда, пользуясь равенством аа = а2, можно избавиться от двух матриц у.
С помощью этого приема вычисление следов в (7.72) производится следующим образом:
Т1 = Sp (pf + tn) e'ek (pi + tn) kee' =
= Sp pfe%kpikee' =
(члены, пропорциональные tn2, выпадают, поскольку k2 = 0)
= Sp 2k ¦ pipfe'ekee' — 2k ¦ pt Sp pfe'ke' =
= 8k ¦ pt (k • pf + 2k ¦ e'pf • e') =
(здесь мы воспользовались теоремой 3)
= 8k- Pi[k' ¦ pi + 2(k-e')2}.
Здесь был учтен закон сохранения энергии-импульса k + pt = = k' + pf, откуда
k'-pi — k ¦ pf и e'-pf = e'k. (7.73)
Подобным же образом вычисляем след
Т2 = Sp (pf + m) ee'k' (pi + m) k'e'e,
который отличается от Tx только заменой е, k+-+&', —k', поэтому
T2 = 8k' ¦pi[k-pi-2(k' -е)2].
Для последнего следа с помощью тех же приемов находим
Г3 = Sp (pf + m) e'ek (pi + tn) k'e'e =
= Sp (pi + tn) e'ek (pi + m) k'e'e + Sp (k — k') e'tkpik'e'e —
= Sp (pi + tn) k (pi + m) k'e'ee'e + 2k ¦ e' Sp (—1) kpik'i' —
— 2k' ¦ e Sp (—1) ekpik' = = 2k • Pi Sp ptk'e'ee'e — 8 (k • e')2 k' • pL + 8 (k' • e)2 k • pt =
== 8 (k • Pi) (k' • pd [2 (e' • e)2 - 1] - 8 (k • e')2 k' ¦ pt + 8 (k' • e)2 k ¦ Pi.
Подставляя результаты вычислений следов в (7.72), получаем формулу Клейна. — Нищины [61] для сечения комптоноескога
АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ В ГАММА-ЛУЧИ
135
рассеяния
da
т =l&(-T)IBr+lF + 'l<‘'-‘>!-2]' Р.74)
где k' и k связаны друг с другом углом рассеяния согласно (7.70).
В низкоэнергетическом пределе k-^-О получаем классическое томсоновское сечение
(лД-м m2 (е е')2>
где величина
— = -^ = 2,8 • 1(Г13 см
т 4птсг ’
есть классический радиус электрона.
Если угол рассеяния 0 -> 0, то k -> k' и из формулы (7.74) мы видим, что для рассеяния вперед сечение оказывается томсонов-ским при всех энергиях. Наконец, для неполяризованных фотонов сечение получается суммированием по конечным поляризациям е' и усреднением по начальным поляризациям е. Это производится в точности так же, как в классической электродинамике, и мы можем позаимствовать оттуда конечный результат
