Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ДИРАКОВСКОМ ПРОТОНЕ
117
Здесь в(ро)—введенная в (6.18) функция-ступенька; она ло-ренц-инвариантна, если 4-вектор р•* времениподобен, как в нашем случае. Общий для всего процесса закон сохранения энергии-импульса выражается 6-функцией (2л)464(Р/+Р;— Pi—Pi)-Наконец, имеется фактор 1/V| /ше|; поток |/inc| для коллинеар-ных пучков есть число частиц на единицу площади, пересекающихся друг с другом за единицу времени, т. е.
I •'Inc I и •
В сочетании с нормировочными множителями для обеих налетающих частиц величина V|/щс| образует лоренц-инвариантное выражение
тМ __ тМ________________тМ_______ ....
Et*t I V,- - Г, | “ | p, | gt + | P, | E. ~ V(p. • P.у - тШ* •
Отсюда видно, что полное сечение инвариантно относительно преобразования Лоренца, совершаемого вдоль направления налетающих пучков. Таким образом, можно записать равенство (7.39) в инвариантной форме
= \ щфгш?1т>‘f <2">' о* <-р> -р‘ + п- X
т d3pf М d3Pr X (2л)3 Ef (2л)3 S’f • (7-42)
Полученное выражение содержит величины самой общей природы; в дальнейшем мы будем опускать детали их появления. Нормировочный объем V не вошел в конечный ответ. Тот же ответ был бы получен и при других нормировочных условиях, не содержащих объем V.
Если сталкивающиеся пучки не коллинеарны, удобнее рассматривать непосредственно число событий в единицу времени dN/dt, которое находится из (7.36) и оказывается равным
dN dt
т d3Pf М d3Pf
^ d3x ре (х, /) Рр (х, I) ^ -щщ | 3Jlfi I2 (2л)4 х
X S4 (Pf — Pi + Pf — pt) (2я)3 ^ (2я)3 if •
Здесь ре(х, t) и рр(х, t) — число электронов и протонов в единице объема; эти величины появились взамен двух факторов (1/У), которые нормируют выражение (7.36) на единичную вероятность в объеме V.
Как уже говорилось, выражение (7.42) отвечает переходу из заданного начального спинового состояния электрона и протона в заданное конечное. Если поляризации не регистрируются, мы
118 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
должны провести усреднение по начальным спиновым состояниям и суммирование по конечным. В результате получим
1% |2 = | J] \R(pf' Sf)y^U(Pi, Si)^Tfua(Pf’ Sf)\nU(Pi, Si)
Sf,Si,sf,si
1 s (Pf+ m) I, (*, + ")„ cp(/,f + AOv (pi + Mly ________
4 P 2m Y 2m y P 2M 2M Yv (</2)2 '
Вычисление первого следа с использованием теорем, приведенных в § 25, дает
(р f + т) (р, + т) 1
SP 2т— ^ -------2т ’ YV = 4^" Sp + mVvv) =
= -^г [р^р7 + p'tpf - g**v (p, • p« - W2)].
Второй след имеет тот же вид, и после некоторых алгебраических преобразований получаем следующий конечный ответ:
1 ^ |2 = ~2т2М2 (q2)2 ' Р^ (Pl ‘ Р^ + (Pf ' pi> (Pi ' Pf) ~~
- m2 (Pf • Pt) - M2 (pf ¦ p^ + 2M2m2]. (7.43)
Сечение рассеяния неполяризованных частиц получается подстановкой этого выражения в формулу (7.42). Полезно вычислить da в лабораторной системе, в которой начальный протон покоится. В этой системе имеем р, — (Е',р'), р{ = (Е, р) и Pi = {M,0).
Чтобы найти дифференциальное сечение рассеяния электрона в элемент телесного угла dQ' в направлении, задаваемом полярным углом 0, проведем интегрирование по фазовому пространству, воспользовавшись равенством (7.40). Записав d3p' = = р'2 dp' dQ = р'Е' dE' dQ', получим
-§Г=ifr S 1 rVp, «(pf - a?) 9 (Pi) X
X 64 (Pf + p'- Pi-p) =
2 mm J p'dE'\Wfi f 6 i(p' -Pi- pf - M2) 0 (P°i E — E')
4
e
I PI (2л)
M+E
m2M
J p' dE' | Щ |2 6 (2m2 -2(E'~ E) M - 2E'E + 2pp' cos 0) =
2л 2p
м __
_ m2M p’ |Я%|2
4 ri2 p M + E- {pE'/p') cos 0 ’ V7-44)
причем условие сохранения энергии, выражаемое б-функцией, имеет вид
Е' (М + Е) — p'pcosQ = ЕМ + т2, (7.45)
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ДИРАКОВСКОМ ПРОТОНЕ
119
и для получения конечного ответа мы воспользовались формулой ^dx6(f(x)) = \df(x)/dx\~l.
Если энергия электрона много меньше массы протона, Е <С М, мы, пренебрегая Е/М <С 1, вновь приходим к прежнему результату для рассеяния в статическом кулоновском поле. В этом предельном случае (7.44) переходит в формулу Мотта (7.21):
а условие (7.45) дает Е' = Е.
Из (7.43) имеем
l%l2 = -^r(2?2 + m2-prpi), ^-«1.
Если отдача протона становится существенной, электрон можно рассматривать как ультрарелятивистский и пренебрегать поправками по массе электрона. Из (7.43) и (7.44) видно, что линейные (и вообще нечетные) члены по т/Е отсутствуют, так что поправки имеют порядок (т/Е)2. Пренебрегая этими поправками, имеем
