Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
р = (г а + rB)/R, v = (rA- Гв)/Я, У,
где ср — угол поворота вокруг прямой, соединяющей ядра.
18.2. Показать, что волновая функция ф^ (57.28) может служить базисом одномерного неприводимого представления, а волновые функции фи ф^ — базисом двумерного неприводимого представления группы симметрии гамильтониана (57.22). Найти матрицы неприводимого представления, соответствующего уровню ^2,3-
18.3. Как изменится картина расположения электронных уровней в «квадратной» молекуле (соотношение (57.33)), если учесть взаимодействие атомов, находящихся на одной диагонали (матричный элемент А')? Воспользоваться теорией возмущений. Прокомментировать результат, опираясь на «симметрийные» соображения.
18.4. Найти энергии стационарных состояний молекулы, состоящей из шести одинаковых атомов, расположенных в вершинах правильного шестиугольника. Считать, что обобществленный электрон может перескакивать со «своего» атома только к ближайшему соседнему атому.
18.5. Найти волновую функцию ^обр, соответствующую волновой функции (16.7), описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. Сравнить физические характеристики состояний, описываемых этими двумя волновыми функциями, при t = 0 и при произвольном t.
18.6. То же, отправляясь от волновой функции (16.15), описывающей свободное движение волнового пакета.
18.7. Найти волновую функцию ^обр, соответствующую волновой функции, описывающей стационарное движение бесспиновой частицы в сферически-симметричном поле (воспользоваться соотношением (Д7.12)).
18.8. То же для частицы со спином (см. (41.31)).
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Пространство квадратично-интегрируемых функции L2
В § 1 было введено линейное гильбертово пространство Ь2, которое было определено как множество всех квадратично-инте-грируемых комплексных функций п вещественных переменных. Можно показать, что это пространство бесконечномерно, т. е. в нем имеется бесконечно много линейно независимых векторов.
Важным свойством пространства Ь2 является существование в нем полных ортонормированных наборов векторов ((tpiWk) = $ik)' Как известно, ортонормированный набор векторов называется полным в данном пространстве, если в нем нет ни одного вектора, отличного от нуля и ортогонального всем векторам этого набора. Таким образом, набор {(р^} называется полным, если из равенства (ф\фг) = О, где ^р% есть любой вектор набора, следует, что ф = 0. Другими словами, ортонормированный набор является полным, если он не может быть расширен путем включения некоторых других векторов пространства. Полный набор в Ь2 всегда содержит бесконечное количество векторов.
В § 1 было введено скалярное произведение (ф^фк), определенное для любых двух элементов фк из Ь2. Одним из свойств скалярного произведения является следующее:
ШФк) > о, (Д1-1)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
Фг = 0.
Это свойство скалярного произведения позволяет ввести в Ь2 норму с помощью соотношения
т\=+у/Щф). (Д1.2)
Важным свойством пространства Ь2 является то, что любой полный ортонормированный набор векторов {^}i° образует ортонормированный базис пространства, т. е. любой вектор ф Е Ь2
312
Дополнения
можно однозначно представить в виде
оо
ф = ^ак1рк, (Д1.3)
к=1
где
а/с = (ч>к\Ф)-
Написанное разложение понимается в смысле выполнения соотношения
п
lim |\Ф ~ У2 ак<Рк ||=0, (Д1-4)
п—>оо z'
к=1
т. е.
/ п
~У2акук(€)
2
df = 0.
к=1
Легко проверить, что условие (Д1.4) эквивалентно соотноше-
нию
оо
[\Ш)\2<% = X] lafel2’ (Д1-5)
J к=1
которое называется уравнением замкнутости.
Условия (Д1.3) или (Д1.5) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями полноты набора {fk}i°-
Покажем теперь, что условие (Д1.5) эквивалентно следующему:
оо
= *(?-*'), (Д1-6)
/е=1
где 6(? — ?') — обобщенная функция, которая называется дельтафункцией Дирака (см. Дополнение 4).
Действительно, пусть условие (Д1.6) выполнено. Тогда имеем
ОО ОО « / ОО \
? ы2 =? |<^>|2 = /К') « =
/е=1 /е=1 ^ /е=1 '
= J тг -?)<%<%' = j \ш)\2^,
т. е. из (Д1.6) следует (Д1.5).
Дополнения
313
Теперь пусть выполнено условие (Д1.5). Тогда имеем
ОО л / ОС \ л
53Ы2= / d?,di' = / |^(C)|2^-
к=1 J к=1 ' J
Из этого равенства следует, что
f гюфтше)^'=гю,
к=к
т. е.
Т,тше) = з(е-о,
к=1
что и требовалось доказать.
Итак, условие (Д1.6) является необходимым и достаточным условием полноты в Ь2 ортонормированного набора {(рк}i°.
2. Линейные операторы
Оператор F называется линейным, если
/ /е \ /е
(Д2.1)
2=1 ' 2=1
где {^i}i — любые векторы из области определения оператора F, — любые комплексные числа.
Оператор F-1 называется обратным по отношению к оператору F, если он удовлетворяет соотношению
FF-1 = F^F = /, (Д2.2)
где I — единичный оператор.
Оператор называется эрмитово сопряженным по отношению к оператору F, если оба оператора имеют одну и ту же область определения и выполняется соотношение
{Рф1\ф2) = (ф1\Р+ф2). (Д2.3)
В обозначениях ^ ^
{ф\\А\ф2) = {Ф\\М2) (Д2.4)
314
Дополнения
условие сопряженности записывается в виде
{ф1\Р+\ф2) = ШРШ*- (Д2.5)
