Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
3. Простейшая модель движения электрона в кристалле
Кристаллическое тело обладает особой, трансляционной симметрией. Если в идеальном кристалле отвлечься от поверхностных эффектов, то все его физические свойства изменяются во всех направлениях строго периодически; период изменения определяется постоянной решетки. Так ведет себя, в частности, электронный гамильтониан Н(г), описывающий движение электрона при фиксированном положении атомов кристалла:
Я(г) = Я(г + n{bi + n2b2 + n3b3). (57.35)
Здесь {bi, b2, Ьз} — тройка векторов, определяющих элементарную ячейку кристаллической решетки, а п\, п2, пз — произвольные целые числа. Будем пользоваться обозначением
bn = mbi + n2b2 + n3b3. (57.36)
Введем оператор трансляции (см. (20.10)) на вектор Ьп:
ТЬггФ(г) = Ф(г + Ьп), (57.37)
где Ф(г) — произвольная функция положения частицы. Примером собственных функций (точнее, обобщенных собственных функций) оператора трансляции являются плоские волны:
fb„eikb = eikb"eikr; (57.38)
при этом каждое собственное значение определяется величиной некоторого вектора к:
Тъп = е*кь". (57.39)
Лекция 18
301
Легко видеть, что собственными функциями оператора Тъп являются также бесконечные линейные комбинации вида
Mr) = 53 e*kXn^(r - *п), (57.40)
П
где ср(х) — произвольная квадратично интегрируемая функция координат, а суммирование производится по всем узлам, в которых расположены одинаковые атомы решетки. Действительно,
Tbnipk{r) = 53 егкХп(р(г + Ъп - х„) =
П
= 53 eik^+bn V(r - х„) = e*kbn-i/»k(г). (57.41)
П
Из (57.35) следует, что гамильтониан Н коммутирует с Тъп:
[Н,Тъп\ = 0. (57.42)
Это значит, что состояние электрона в кристалле можно характеризовать особой сохраняющейся величиной — собственным значением оператора трансляции (57.39). Мы будем использовать для этого вектор к и называть его квазиимпульсом электрона в кристалле.
Итак, сохранение квазиимпульса электрона есть следствие трансляционной симметрии кристалла. Какие значения может принимать квазиимпульс к? Как связаны эти значения с энергией электрона и другими величинами, характеризующими состояние электрона в кристалле? Для ответа на эти вопросы недостаточно «симметрийного» подхода, для этого нужна «динамическая» теория. Ниже мы рассмотрим простейшую модель движения электрона в кристалле, близкую по духу к той, которую мы только что использовали при рассмотрении молекул.
Представим себе идеальную бесконечную решетку, составленную из одинаковых жестко закрепленных атомов (ионов), с элементарной ячейкой {bi, Ьз}. Пусть V(r—хп) — потенциальная энергия взаимодействия электрона с ионом, находящимся в узле решетки с координатой хп. Волновая функция электрона удовлетворяет уравнению Шредингера (Н — Е)ф{г) = 0, где гамильтониан
Я = Т + 53У(г-х„) (57.43)
П
302
Раздел 4
подобен гамильтониану (57.22) в задаче о молекуле. Пусть ?о и гро — энергия и волновая функция некоторого состояния электрона, взаимодействующего с одним изолированным ионом. Рассмотрим, что происходит с уровнем ?о (который для простоты предполагается невырожденным), когда бесконечное множество таких ионов образует кристаллическую решетку.
В нулевом приближении волновая функция электрона в кристалле имеет вид, аналогичный (57.19):
^(г) = ^2 апФо(г - хп)- (57.44)
П
Пренебрежем перекрыванием волновых функций электронов, локализованных в разных узлах решетки:
(^о(г - xn)|V’o(r - Хп/)) = 0, (57.45)
если хп хп/. Тогда бесконечная система уравнений для коэффициентов ап принимает вид
(ео Vnn Е^)(хп = 'у ^ Vnn'OLn>, (57.46)
п'фп
где Vnn> — матричный элемент взаимодействия электрона, локализованного у n-го атома, с другими атомами кристалла:
Vnn’ =(Vo(r-xn)| ^2 ^/(r-xTO)|V’o(r-x„/)y (57.47)
тфп
Среди недиагональных матричных элементов (57.47) основными являются те, которые соответствуют ближайшим соседним атомам. Пренебрегая всеми остальными, мы можем значительно упростить систему (57.46). Сделаем это для частного случая кубической решетки:
(so ~h V — Е)ап =
= 7^(^Хтг+ Ь>1 — bi “Ь^Х^+Ьз “Ь^Хгг—Ьз )•
(57.48)
Здесь каждый атом имеет шесть ближайших соседей, находящихся на одинаковых расстояниях от него:
|bi| = |Ъ2| = |Ъ3| =Ъ. (57.49)
Лекция 18
303
Через V и А обозначены диагональный и недиагональный матричные элементы взаимодействия:
V = Vnn, (57.50)
А = 14™,x™±bi = VXn,Xn±b2 = Vxn, Хтг±ь3 • (57.51)
Поскольку оператор J2 соответствует силам притяжения меж-
тфп
ду электроном и атомами решетки, матричные элементы V и А имеют отрицательную величину
Системе уравнений (57.48) удовлетворяет коэффициент аХп в виде
аХп = е*кх", (57.52)
где к — произвольный вектор. Таким образом, волновая функция (57.44), описывающая стационарное состояние электрона в кристалле и полученная непосредственным решением уравнения Шредингера, действительно задается значением вектора квазиимпульса электрона к:
xp(r) = 53 егкх"^о(г - Х„) ЕЕ ^к(г). (57.53)
П
Подставляя (57.52) в (57.48), получаем связь между величиной энергии электрона в кристалле Е и его квазиимпульсом к:
Е = E(k) = ?о + V + 2A(coskbi + coskb2 + coskb3) =
