Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
U(t, t0) =exp(-|tf-(t-t0)), (29.26)
124
Раздел 1
где Н — гамильтониан системы. Следовательно, статистический оператор состояния pt в момент времени t следующим образом связан со статистическим оператором того же состояния pto, в момент to:
Pt = U(t,t0)ptoU+(t,t0). (29.27)
Дифференцируя это равенство по времени и принимая во внимание (29.26), получаем дифференциальное уравнение для оператора pt в представлении Шредингера:
ih^ = [Н, pt}. (29.28)
Это уравнение вместе с начальным условием
Pt=to = Pto (29.29)
эквивалентно соотношению (29.27).
В частном случае чистого состояния это уравнение движения для статистического оператора уже было получено в (28.14).
§ 30. Матрица плотности составной системы
В § 27 мы рассматривали систему, состоящую из двух подсистем 1 и 2. Предполагалось, что вся система (1 + 2) находится в
чистом состоянии, а мы интересовались возможностью описания каждой из подсистем волновой функцией. Было показано, что это возможно только в некоторых специальных случаях, когда волновая функция всей системы ?2) представляется в виде (27.1)
произведения функций ^1(^1) и ^2 (?2), каждая из которых зависит от динамических переменных какой-либо одной подсистемы. Если же такой факторизации нет, подсистемы могут описываться соответствующими статистическими операторами рW и р^ или матрицами плотности. Найдем их в общем случае, когда вся система (1 + 2) находится в произвольном смешанном состоянии, описываемом статистическим оператором р.
Для этого рассмотрим произвольную физическую величину F, которая может характеризовать состояние подсистемы 1. Будем исходить из того, что среднее значение величины F в состоянии р№ подсистемы 1 должно, конечно, совпадать со средним значением этой величины в состоянии р всей системы. Согласно постулату (29.8) это равенство можно записать в виде
F = Sp(^F) = Sp(pF).
(30.1)
Лекция 7
125
Для вычисления следов этих операторов введем некоторый базис
{^т (?i)}i° в гильбертовом пространстве Ж^ подсистемы 1 и
некоторый базис {(рп\&)}Т в гильбертовом пространстве ж{2) подсистемы 2. Тогда множество функций
^mn(6,6) = ^)(6)^2)(6) (30.2)
будет базисом в пространстве Ж состояний всей системы (1 + 2). Оператор F по условию действует в пространстве Ж^\ Поэтому
FVmnfo, 6) = (ад(6))^2}(&). (30.3)
Согласно (24.9) имеем
= (зо.4)
т'
^тп(^Ь ?2) = У ^ Fmi п'т'п'1? ?2)? (30.5)
т'п'
где
= (30.6)
— матрица оператора F в
Frri'n'rrin — ({Рт/п'\Е\(ршп) (30.7)
— матрица оператора F в гильбертовом пространстве Ж всей системы. Подставляя (30.3) в (30.7) с учетом (30.2) и (30.6), получаем
Fm>n>mn = {<P%WV&Wn?\<P(n)),
т. е.
Fm'n’mn = Fm^m = ^п'п- (30.8)
Теперь можно записать (30.1) в матричной форме
р - Л1) - V' п Р
— Гтт'гт'т ~ 2—d Ртп>т'п' Гт'п' >тп’
тт> гп/п'
где
Ртт< = (30‘9)
— матрица плотности состояния подсистемы 1,
Ртп,т'п' = ((Pmnlpl^Pm'n') (30.10)
126
Раздел 1
— матрица плотности состояния всей системы (1+2). Подставляя сюда (30.8), получаем
F{1) , )f{1)
/ j rmm' m'm / > I / > lJmn,m n J r rn'm' mm' mm' n
Ввиду произвольности оператора F отсюда следует равенство
Ртт' = 'У > Ртп,т'п• (30.11)
п
Оно устанавливает связь между матрицей плотности состояния подсистемы и матрицей плотности состояния всей системы. Ввиду произвольности базиса это матричное равенство можно переписать в операторной форме
pW = Sp(2) р, (30.12)
где символ в правой части означает след по тем индексам матрицы, которые не относятся к подсистеме 1.
Рассмотрим частный случай, когда система (1 + 2) находится в чистом состоянии с волновой функцией ?2)- Соглас-
но (29.16) статистический оператор этого состояния есть
Р=\ф){ф\, (30.13)
т. е. является оператором проектирования на вектор \ф). Подстав-
ляя (30.13) в (30.11), получаем
Ртт' = ^2((Ртп\‘Ф)(Ф\сРт'п)- (30.14)
п
Это состояние, вообще говоря, является смешанным.
Теперь дополнительно предположим, что волновая функция факторизуется в виде (27.1):
(30.15)
Тогда (30.14) принимает вид
Ртт’ = (30.16)
п
Лекция 7
127
Поскольку набор {сfnявляется полным в пространстве в силу (Д1.5) имеем
Е К^п}|^2)|2 = 1.
п
Поэтому из (30.16) следует
Ршт' = (^\Ф1)(Ф1\<Р%), (30.17)
^ = \ф1)(ф1\, (30.18)
а это есть оператор проектирования на |^i). Следовательно, если волновая функция системы представляется в факторизованном виде (30.15), каждая из подсистем находится в чистом состоянии. Этот вывод совпадает с тем, который был сделан в § 27.
§31. Квантовая система в термостате
1. Общие положения
В физике очень часто возникает необходимость в рассмотрении поведения системы, которая сама является малой частью
некоторой большой макроскопической системы. Примерами таких систем могут служить молекула газа, атом в кристаллической решетке, фотон в электромагнитном поле и т.д. Поскольку рассматриваемая система взаимодействует со своим окружением, ей нельзя сопоставить никакого вектора гильбертова пространства, как мы это выяснили в §§ 27 и 30. Для описания движения такой системы необходимо использовать статистический оператор.
Одним из самых важных частных случаев этой задачи является тот, когда система находится в статистическом равновесии со средой, а ее взаимодействие с макроскопическим окружением является слабым. Согласно статистической физике в этом случае все свойства системы определяются распределением ее энергии, причем статистический вес состояния с энергией Е дается распределением Гиббса (каноническим распределением):
