Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Приложения описанного типа бывают более или менее обоснованными в зависимости от степени обоснованности исходных посылок. Например, в теории хлопков упругих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.
5. БИФУРКАЦИИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Эволюционный процесс математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния.
В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). На рис. 10 изображено фазовое пространство системы, описывающей взаимоотношение хищника и жертвы (скажем, щук и карасей). Фазовое пространство — положительный квадрант плоскости. IIo оси абсцисс отложено число карасей, по осе ординат — щук. Точка P — положение равновесия. Точка А соответствует равновесному количеству карасей прЕ
16 количество щук, меньшем равновесного. Видно, что с течением времени в системе устанавливаются колебания; равновесное состояние рис. 10 неустойчиво. Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.
Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными состояниями процесса, называются gбазовыми кривыми. В окрестности точки, hu являющейся положением равновесия, разбиение фазового пространства на фазовые кривые устроено так же, как разбиение на параллель- Ali ные прямые: семейство фазовых кривых можно превратить в семейство параллельных прямых гладкой заменой координат. В окрестности положения равновесия картина сложнее. Как показал еще А. Пуанкаре, поведение фазовых кривых в окрестности положения равновесия на фазовой плоскости в системе общего положения такое, как изображено на рис. И. Все более сложные случаи превращаются в указанные изменении системы.
Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, как правило, общего положения. Действительно,, такая система всегда зависит от параметров, которые
Рис 10. Фазовая плоскость модели хищник— жертва
при общем малом
Устойчивые
Неустойчивые
Седла
Где. 11. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия
никогда не бывают известны точно. Малое общее изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения.
Таким образом, все более сложные, чем указанные выше, случаи, вообще говоря, не должны встречаться
17 в природе, и их на первый взгляд можно не рассматривать. Эта точка зрения обесценивает большую часть теории дифференциальных уравнений и вообще математического анализа, где традиционно основное внимание уделяется малоценным, но трудным для исследования случаям не общего положения.
Дело, однако, обстоит совсем иначе, если нас интересует не индивидуальная система, а система, зависящая от одного или нескольких параметров. Действительно,
рассмотрим пространство всех систем (рис, 12), разделенное на области, образованные системами общего положения. Поверхности раздела отвечают вырожденным системам; при малом изменении параметров вырожденная система становится невырожденной. Однопараметрическое семейство систем изображается на рис. 12 кривой. Эта кривая может трансверсально (под ненулевым углом) пересекать границу раздела разных областей невырожденных систем.
Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении параметра систему малым шевелением можно превратить в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметра: всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу раздела при близком значении параметра (вырождение, устраненное малым шевелением при данном значении параметра, вновь возникает при некотором близком значении).
Итак, вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство. Если семейство однопараметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (т. е. задающимися одним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем, можно избавиться малым шевелением однопараметрического семейства.
Если мы интересуемся двупараметрическим семейством, то можно не рассматривать вырожденных систем8 образующих множество коразмерности три и т. д,
Рис. 12. Однопараметрическое семейство как кривая в пространстве систем
18 Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем — два и т. д. При этом исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.
