Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Изложенные выше общие соображения принадлежат А. Пуанкаре и применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но к большей части всего математического анализа. Хотя они были высказаны уже сто лет назад, успехи в реализации намеченной А. Пуанкаре программы теории бифуркаций остаются в большинстве областей анализа довольно скромными, отчасти в силу больших математических трудностей, отчасти же вследствие психологической инерции и засилья аксиоматико-алгебраического стиля.
Вернемся, однако, к положениям равновесия эволюционных систем. К настоящему времени решенным можно считать лишь вопрос о перестройках фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в однопараметп-рических семействах общего положения; уже случай двух параметров выходит за рамки возможностей сегодняшней науки.
Результаты исследования общего однопараметрическо-го семейства суммированы на рис. 13—18. На рис. 13 изображено однопараметрическое семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение параметра е, по оси ординат — состояние процесса х).
і
Рис. 13. Кривая равновесий однопараметрического семейства систем
Рис. 14. Превращение нетипичных бифуркаций в типичные при малом шевелении семейства
19 Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую (Г на рис. 13, в более общем случае размерность многообразия состояний равновесия равна числу параметров). В частности, это означает, что изображенные на рис. 14 слева бифуркации в семействе общего положения не встречаются: при малом изменении семейства Г превращается в гладкую кривую одного из изображенных на рис. 14 справа типов *).
Проектирование кривой Г на ось значений параметра в случае однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при большем числе параметров появляются и более сложные особенности теории Уитни: например, в общих двупараметрических семейства* проектирование поверхности равновесий Г па плоскость значений параметров может иметь точки сборки, где сливаются три положения равновесия).
Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции, а, Ь, с, d на рис. 13). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров. При подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия «умирает», слившись с другим (или же «из воздуха» рождается пара положений равновесия).
Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво.
В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от бифуркационного на є, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка |/"в.
На рис. 15 изображена перестройка семейства фазовых кривых на плоскости в общем однопараметрическом семействе. Устойчивое положение равновесия («узел») сталкивается при изменении параметра с неустойчивым («седлом»), после чего оба исчезают. В момент слияния
*) Под «типом» здесь понимается класс эквивалентности с точностью до диффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм — это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от параметра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра).
20 на фазовой плоскости наблюдается картина необщего положения («седло-узел»).
На рис. 15 видно, что перестройка, в сущности, одномерная: вдоль оси абсцисс происходят те же явления, что на осп X на рис. 13, а вдоль оси ординат перестройки нет вовсе. Таким образом, перестройка через седло — узел
Рис. 15. Седло-узел: типичная локальная бифуркация в одно-параметрическом семействе
получается из одномерной перестройки «надстраиванием» оси ординат. Оказывается, вообще все перестройки положений равновесия в общих однопараметрических системах получаются из одномерных перестроек аналогичным надстраиванием.
Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в какой-либо реальной системе (скажем, экономической, экологической или химической), то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает. Скачки этого рода и привели к термину «теория катастроф».
6. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении параметра не обязательно связана с бифуркацией самого состояния равновесия: оно может терять устойчивость не только сталкиваясь с другим, но и самостоятельно.
Соответствующая перестройка фазового портрета на плоскости изображена на рис. 16. Возможны два варианта.
А. При изменении параметра из положения равновесия рождается предельный цикл (радиуса порядка Yе,
21 когда значение параметра отличается от бифуркацнонно го на є). Устойчивость равновесия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчивым.
