Теория и опыт разработки месторождений природных газов - Вяхирев Р.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) продуктивность скважин 1 и 2 после включения скважины 3 падает. Это связано с резким возмущением поля давлений;
2) в начальный период работы скважины 3 происходит более интенсивный приток к ней газа вследствие существенного увеличения градиентов давления в околоскважинной зоне по сравнению со скважинами 1 и 2;
3) дебит скважины 3 быстро убывает во времени до стабилизированного значения. При этом скорость стабилизации того же порядка, что и для скважин 1, 2.
Меньшее значение стабилизированного дебита скважины 3 в данном случае вызвано асимметрией расположения скважин 1(2) и 3 и не имеет отношения к разновременности ввода скважин.
Рассмотрим общую форму уравнения изменения давления
193
Q
t
0,0E+000 l,0E+001t32,0E+001 3,0E+001 Рис. 4.25. Зависимость дебитов Q скважин во времени
в подземном пласте при стационарных граничных условиях (например, условия Дирихле):
m(x, t, p) |р = div(K(x, t, p)gradp) + f(x, t, p)x eQ, t > 0; p 3q = p( x); p|t=0 = p 0 = c°nst; (4.36)
где рсі — давления на контурах y i, являющихся стенкой і-й скважины; N — число скважин; yi(ti) — поверхность забоя i -й скважины, вводимой в работу в момент ti.
Запись граничного условия на i-й скважине означает, что оно задается только для времени t > ti. В течение отрезка времени [0, t] i-й скважины не существует вообще.
Здесь необ ходимо учитывать изменение области Q во времени, так как после ввода очередной i -й скважины область Q уменьшается на значение, равное внутреннему объе-му подобласти, ограниченной контуром y i. Однако эти объемы крайне малы, и для упрощения обозначений этим эффектом можно пренеб речь.
Рассмотрим также стационарную задачу относительно стационарного поля давлений u(x):
194
0 = div(a(x,°°,u(x))gradu) + /(x,°°, u(x)) x GQ; U aQ = P(x); (4.37)
U = Pa, i = 1 - N.
При больших значениях времени (t -— °°) существуют три возможности поведения решения р исходной задачи (4.36):
1. Задача (4.37) имеет единственное решение. Тогда решение р стремится к решению стационарной задачи u:
p(x, t)t—™ - u(x). (4.38)
2. Задача (4.37) имеет множество решений u(k)(x), k = 1, 2,... .Тогда р стремится к одному из этих решений:
p(x, t)t—" - u(k)(x), Vk, (4.39)
где номер "k" зависит от истории процесса, т.е. от пути, по которому происходило развитие системы во времени.
3. Задача (4.37) не имеет решения. Это означает, что давление р не стремится к какому-либо стационарному пределу.
p= p( x, t), Vt. (4.40)
Ситуации 2 и 3 представляют наибольший интерес, так как конечный результат в них (при t -— °°) заранее неизвестен и зависит от всей истории развития системы. Далее приводятся некоторые примеры возможной реализации этих ситуаций на практике.
"Градиентное" деформирование пласта
Рассмотрим случай, когда в (4.36):
K = K(p, x). (4.41)
Пусть, например,
K = 1 + a |gradp|, а = const. (4.42)
В одномерном случае стационарное уравнение без правой части имеет вид
d ' L du * du * „ dx {{ dx+ dx)
Оно легко интегрируется:
u = du = -1 ±1/1 - 4aa1
dx 2a
195
где A1 — константа интегрирования. Это уравнение имеет два решения:
u1(x) = А2 * x;
2a
( ) ' 1 + V1 - 4аа1 *
u2(x) = А2 - I--Ix,
2a
где A2 — вторая константа интегрирования.
Здесь мы попадаем в ситуацию 2, т.е. в зависимости от того, как развивалась система во времени, можно получить то или иное стационарное решение.
Такой случай деформирования естественно называть градиентным.
Обобщая результат, можно ожидать, что в случае нелинейности по пространственным производным давлениям предельная стационарная задача имеет не одно решение (ситуация 2).
Двухфазная фильтрация без капиллярных сил
Допустим, что в пласте присутствует вторая подвижная фаза (вода, газовый конденсат). Тогда уравнения течения можно записать в виде
Im ff = div(K(S)grad p);
dp
\3S_
+ vgrad S = 0, x GQ,
где S — насыщенность второй фазой, v — вектор скорости переноса насыщенности. Капиллярной дисперсией пренебрегаем.
Область Q считаем ограниченной.
Второе уравнение описывает движение бегущих волн насыщенности через пласт. Такие волны не имеют стационарного предела и могут ходить по пласту, отражаясь и переотражаясь от границ сколь угодно долго. Поэтому и первое уравнение, в которое S входит как параметр, не имеет стационарных решений.
Таким образом, двухфазность без капиллярных сил приводит к ситуации 3.
196
Сильно неоднородные среды
М.Б. Панфиловым были получены уравнения с памятью, описывающие течения флюида в среде с двойной пористостью:
3™ І7 - div(K(p)gradp) = -mb Jt \f K(1 - x) І7 dx)'
(0 + (4.43)
dp
Pb = p -fK(1 -x) 17 dx
где p,m — давление и пористость в высокопроницаемой среде; pb, mb — давление и пористость в плотных блоках; K(t) — ядро оператора.
У этой системы нет стационарных решений, и конечный результат зависит от пути ее развития.
Общие закономерности можно получить на базе исследования интегрального по всему пласту уравнения, которое имеет вид
р / р0 = 1 - Q(X) + }? [1 - K(T - 0) ]сГО, (4.44)
где Q(x) = G(x)/M2; X — отношение массовых запасов газа в матрице (M1) к запасам в коллекторе (M2); G(x) — накопленный добытый газ (масса); р0 — начальное давление; р(р) — плотность газа;
