Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение иа бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве.
ЕслнM —такая л х п-матрица, то её собств. значения Xi — это комплексные числа, для и-рых ур-ние Mx- Xx имеет ненулевые решения (собственные векторы матрицы М). Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы Д(A1) = det(A,/ — М) = = 0, где I — единичная п X п -матрица. Множество собств. значений (спектр М) содержит не более п точек, т. н. Д(Л) — полином степени п и имеет не более п различных корней А,$. Сама матрица M удовлетворяет ур-нню Гамильтона — Кэли Д(Л/) = 0, а по теореме Биета A(Af) = (М — X1)(М — X2)... (М — Xn) (для простоты принято, что все различны). Если положить Д(M) = (М — X^) AtfM), то оператор Pi = Д*(Л0/Ai(Juj) является проектором на собств. подпространство, при-надлежащее Xi: для любого вектора х вектор -Р*(.г) —
собственный и принадлежит Х(\ P2. = Pi, /^Pі = 1.
t <
Прн этом матрица M имеет спектральное разложение Il]:
M^XiPi. Г)
і
Для эрмитовых M проекторы также эрмитовы, Xi вещественны, а собств. подпространства ортогональны Друг другу. При X ^ Х{ матрица XI — M имеет обратную. Вообще, в конечномерном случае есть две возможности: либо (I) X — регулярная точка н резольвента (XI — Af)-1 существует нак оператор на всём векторном пространстве, лнбо (II) X — точка спектра н резольвента не существует.
Б бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) SB, и появляется третья возможность: (III) ур-ние Ax = Xx имеет лишь нулевые решения в SB, но резольвента (XI — М)~1 не определена на всём SB. Объединяя вторую (точечный, нлн дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество танпх X, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём SB. Прн этом X принадлежит непрерывному спектру, еслн область значений оператора XI — А плотна в SB, в. остаточному — в противном случае. У ограниченных самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует.
Б квантовой механике наблюдаемым отвечают самосопряжённые операторы, действующие в гильбертовом пространстве Ж. Сведения об их спектре имеют непосредственный фнз. смысл. Так, точечный спектр оператора Гамнльтона — это уровнн энергия связанных состояний, а непрерывному спектру отвечают состояния, фигурирующие в теорнн рассеяния. В соответствии с идеей П. Дирака [2] в квантовой механике
СПЕКТРАЛЬНАЯ
оперируют с формальными решевиямн ур-ния Ax — \х, отвечающими непрерывному спектру; такие решения не принадлежат SV. Напр., для системы с одной степенью свободы, коорднната и-рой может принимать значения на всей оси IR = (—оо, +оо), в координатном представлении реалнзуетси как пространство L8(IR) ивад-ратично интегрируемых ф-цнн ф(д) на R. Оператор нмпульса р = —thd/dq имеет непрерывный спеитр, совпадающий с IR. Решениями ур-ния р'фх(д) = Ъ{з*(д) являются плоение волны tj\(g) — |л> = ехр (ikqlh); поскольку в пространстве Z2(IR) нх норма ”
= (2л)-lj 1J3 (?)^(?)dq расходится, они не принадлежат ?-a(IR) н наз. обобщёнными собственными векторами. Комбинация |Х > < Х( является аналогом проектора на обобщённый собств. вектор |Л>, а спектральное разложение
P=^dXK J А,)(А, I —
аналогом разложения (*) для случая непрерывного спектра: дли любого вектора ф(д) = 1ф > нз Z8(IR) имеем:
py(q)| A.) (A. Jip) = dXXexp(—іА.дД)(2я)-1^д'ехр(іЯ9/й)ф(д) = — ihdy(q)/dq.
Эта конструкция служит тольио моделью математически строгого определения спектрального разложения операторов с непрерывным спектром ([3], [4]). В большинстве квантово мехаинч. задач дискретный н непрерывный участки спектра не пересекаются, а случаи, когда точки дискретного спектра погружены в непрерывный, считаются эизотнческими. Простейший пример такой ситуации — осциллирующий н медленно убывающий с расстоянием потенциал (т. н. потенциал Внгнера —фон Неймана).
Лит.: I) X а л м о т П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963; 2) Д и р а к П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; 3) P и д М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1977; 4) фон Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964. В. П. Павлов.
СПЕКТРАЛЬНАЯ АППАРАТУРА РЕНТГЕНОВСКАЯ — см. Рентгеновская спектральная аппаратура.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ЛИНИЯ — узкий (почти монохроматический) пик в спектре испускания (С. л.испускания) либо провал в спектре пропускання (С. л. поглощения) объекта. С. л. характерны для разл. спектров, однако чаще всего этот термин применяют к квантовым системам. Положение С. л. в спеитре обычно определяется длиной волны X, частотой v = cfX лнбо энергией фотона Av.
С. л. квантовой системы (атома, идра, молекулы, кристалла и т. п.), как правило, отвечает переходу между её дискретными уровнями энергии / я /сн кроме длины волны характеризуется энергией перехода и квантовыми числами нижнего / и верхнего к уровнен, вероятностью излучат, перехода (Эйнштейна коэффициентом) AjiJ лнбо силой осциллятора fС. л., возника- . ющие вследствие оптически разрешённых (электрических дипольных) переходов, наз. разретёины-м и. Если электрический дипольний переход между уровнями запрещён отбора правилами, С. л. иаз. запрещённой.