Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
to
t
+ ^м(х, t0) 1 b (т) dW (т) - ^ и (т, t0) 1a(x)X(x)dx =
to to
t t
= X0 + ^ u(x, t0)~1 a0 (t) dx 4- ^ u(x, t0)~1b(x)dW (x).
to tQ
Таким образом,
t t
Y (t) = X0 -r \ u(x, t0)~га0 (x) dx -j- ^ u(x, t0)~1b(x)dW (x)
to to
и
X{t)^u(t, t0)Y (t) = u(t, t0)X0 +
t t
-i j U(t, t0)u(x, t0)~1a0(x)dx+\j u(t, t0)u(\, Зг1 b (i) Ш (x).
i о to
Заметим, наконец, что согласно формуле (1.23) u(t, t0) - -- u(i, x)u(x,
t0). Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим
t t
X(t) = и (t, t0) X0 + ^ u (t, x) a0 (x) dx + ^ и (t, x) b (x) dW (x). "4
(32)
*0 *0
Эта формула определяет с. к. решение уравнения (27) или, что то же,
стохастического дифференциального уравнения (26) при начальном условии
Х(/0) = Х0. Принимая во внимание формальное равенство dW (х) = V (х) dx,
убеждаемся в том, что обычная формула для интеграла неоднородного
линейного дифференциального уравнения, полученная в п. 1.3.2 для вектора
состояния линейной системы z (/), применима и к стохастическим линейным
дифференциальным уравнениям.
3.3.3. Линейные уравнения высших порядков. В приложениях часто
рассматривают наряду с дифференциальными уоавнениями первого порядка
линейные стохастические дифференциальные Уравнения высших порядков.
Дифференциальное уравнение
п т
dkY V , ,,YdbV
dtk •" Aw dfk A=0 k-0
называется стохастическим дифференциальным уравнением п-го порядка, если
т <п и случайная функция V(t) представляет собой белый шум. Чтобы придать
этому уравнению точный
174
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
смысл, заменим его формально эквивалентной системой уравнений первого
порядка, не содержащей производных белого шума (п. 1.3.4):
dXk/dt-=Xk+i + q,y (fc=l, ..., п- 1),
П
dXjdt = - 2 +
k=\
где X, = Y,
dl • • • Яп-т-1 Яп-т (r)п Ь!П,
k-l k-h
bn-k 2 2 СпЛнап-к + 1 + нЯ1п
h-n~mI - О
(k - n-m+ 1, n).
Вводя составной векторный процесс X(t) = (t)г . .. Х"(7)т]т =
= [У (ty Х2 (t)r ... Х"(/)т]т и матрицы
а =
- 0 1 0 0
0 0 1 0 Ь =
-~ап1а о -fl-lfl! -а-'а2 . L
~qi 1 <7а 1
I '
<7 п j
приведем полученную систему стохастических дифференциальных уравнений к
виду
dx
dt
= aX+bV.
Таким образом, линейное стохастическое дифференциальное уравнение л-го
порядка следует понимать как эквивалентную в смысле п. 1.3.4 систему
стохастических дифференциальных уравнений первого порядка, которую, как
мы видели, можно записать в виде одного уравнения первого порядка (26)с
а0=О для соответствующего составного векторного случайного процесса.
В соответствии с этим решение линейного стохастического дифференциального
уравнения п-го порядка следует понимать как первый блок (первую
компоненту в случае скалярного уравнения п-го порядка) составного
векторного случайного процесса X(t), представляющего собой решение
соответствующего стохастического дифференциального уравнения первого
порядка,
у(0=ад).
§ 3.4. Стохастические интегралы от случайных функций
3.4.1. Процессы с независимыми приращениями. Случайный процесс X (})
называется процессом с независимыми приращениями, если при любых N, t0 <
tx < ... < tN случайные величины Хи, Xt,-xu, ..., Xt^-Xt^ независимы.
§ 3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ J75
Изучим конечномерные распределения процесса X (Д с независимыми
приращениями. При этом, как всегда, за пределами теории, основанной на
моментах первого и второго порядков, будем считать процесс X (t)
действительным (скалярным или конечномерным векторным).
> Так как для любых t1 < t2
X (t2) = Х(*1) + [Х(*2)-Х (/,)],
то значение процесса с независимыми приращениями при любом t2
представляет собой сумму двух независимых случайных величин - его
значения при любом t1 < t, и его приращения на интервале {4, i2).
Обозначим через gy (Я; t) одномерную характеристическую функцию процесса
X(t), а через g(k\ t, s)- характеристическую функцию его приращения на
интервале ((, s). Как известно, характеристическая функция суммы
независимых величин равна произведению характеристических функций
слагаемых (ТВ, п. 4.5.1). Но характеристические функции величин X (4), X
(4), X (t2) - X (4) представляют собой соответственно gy (Я; t2), gy(A;
4), g(A; 4> 4)" Следовательно,
gi(^: t2)=g1(k] tJgCk; ti, t2) при любых t1 < t2. Отсюда находим
g(X' tl' ^ = 1§Вг)' Wl<^' 4 (33)
Таким образом, характеристическая функция приращения процесса с
независимыми приращениями полностью определяется его
одномерной характеристической функцией, т. е. его одномерным распре
делением.
> Далее, при любых 4 < ¦ • • < tn
X (4) = X (4) + [X (4) - X (4)] + • ¦ • + [X (4) - X (4-0]
(k = 2 п)
и
sa (К ¦¦¦, 4, •••, tn) = Mexp {tX!X(H)+ • • • + t'A?X (4)} =
= М exp {t (Xj -(- ... -A)j) X (4) +
4- i (A..J4- • • • + Ki) L* (4) - X (4)] 4" • • • + [X (tn) -X (4>-0]Ь
В силу теоремы умножения математических ожиданий (ТВ, п. 4.2.6) это
равенство можно переписать в виде
8п(К, . .., Я"; 4, •••> 4,) = Mexp{t(A,I+...+A5)X(4)}X х М exp {i (Ц +
... 4- А?) [X (4) - X (4)]} х . ..
... хМ exp {ikl [X (tn) - X (4-0]}*
