Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
времени.
При малых углах ф, положив в (I) sin ф " ф, cos ф и 1 и приняв ф = == Zb
ф - 2г за переменные состояния, получаем линейную стохастическую
дифференциальную систему с аддитивным и параметрическим шумами,
Уравнение которой имеет вид
Z = aZ -j- QjX а0 +
J, 3
(71)
Y=*bZ + bt-t\b10 + 2blkZk\N(t).
\ k=i j
(72)
Лф + Зф + т^/ (1 -Л7a) sin <р-\- mglNi cos ф = 0,
(I)
(H)
где al - mgliA, 2e = B/A.
68
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1.5. Системы, приводимые к дифференциальным системам
1.5.1. Системы, описываемые функционально-дифференциальными
уравнениями. Многие задачи практики приводят к функционально-
дифференциальным уравнениям вида
г = /(4,. t). (73)
Здесь в отличие от первого уравнения (19) компоненты векторной функции f
при каждом t зависят от закона изменения вектора состояния zx - z(т) на
интервале времени \t0,t), т. е. пред. ставляют собой функционалы z\a =
{zx: t0h^x<Ct}. При этом i0 представляет собой момент начала работы
системы, описываемой уравнением (73). Зависимость функции f только от
значений гх при т < t отражает свойство физической возможности системы,
математической моделью которой служат уравнения (73).
Подобные уравнения встречаются, например, в задачах динамики популяций,
эредитарной (наследственной) механики и физики, когда учитывается
зависимость компонент смещений в виде функционалов от компонент
напряжений силового и электромагнитного полей, в динамике полета при
нестационарном движении летательного аппарата, сопровождающемся сходом с
него аэродинамического следа, содержащего сведения о пред-истории
движения, в задачах синтеза управления в виде функционалов от всех
измеряемых предшествующих значений координат и скоростей. Существует
обширная литература, в которой изучаются функционально-дифференциальные
уравнения [81, 82, 90]. Однако эффективных общих методов изучения систем,
для которых подходящей моделью служит уравнение (73) пока не существует.
Важным частным случаем является уравнение (73) при
f{zi,t) = f(z,u,t), (74)
где вектор и определяется интегральным уравнением
t
ы(/) = ^ F(t, т, z (т), и (г)) ch. (75)
Здесь F(t, т, 2, и) - некоторая векторная функция указанных аргументов.
Обычно в приложениях подынтегральная функция F при любых фиксированных т,
г, и обладает свойством затухания, F(t, т, z, и) -> 0 при i->оо.
На практике встречаются более общие, чем (75), интегральные уравнения для
вектора и
t
u(t)~ ^ F(t, т, z(т), u(x))dx, (76)
t-Г"
s 1.5. СИСТЕМЫ, ПРИВОДИМЫЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ 69
где То - интервал времени, на протяжении которого прошлые значения г(т),
и(т) влияют на текущее значение u(t). Уравнение (76) соответствует
ситуации, когда t0 не является моментом начала работы системы, а
представляет собой некоторый момент времени, принятый за начальный. В
силу затухания подынтегральной функции F для моментов времени, достаточно
удаленных от t0(t -10 > Т0), интегральное уравнение (76) практически
совпадает с интегральным уравнением (75). Поэтому для моментов времени t,
достаточно удаленных от t0, при изучении поведения системы, описываемой
интегро-дифференциальными уравнениями (73), (74), (76), в силу свойства
затухания функции F могут быть применены те же методы, что и для изучения
системы, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями (73)-(75).
Назовем системы, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями (73) -
(75) (или (73), (74), (76)), интегро-дифференциальными системами.
Если в число аргументов функций / и F входит еще значение некоторой
случайной функции N (t) при данном i, то интег-ро-дифференциальные
уравнения (73) - (75) (или (73), (74), (76)) служат моделью
стохастической интегро-дифференциальной системы.
Во многих практически важных случаях уравнения интегро-дифференциальных
систем приводятся к дифференциальным. Назовем такие интегро-
дифференциальные системы приводимыми к дифференциальным [118]. Только эти
случаи будут рассматриваться дальше в книге.
1.5.2. Приведение интегро-дифференциальных систем к дифференциальным.
Во многих задачах практики подынтегральная функция F в уравнении (75)
допускает представление
F(i, т, г, и) - w (t, т)ср(2, и, т). (77)
Входящая сюда матричная функция w(t, г) называется ядром интегрального
уравнения (75). Через ср (г, и, т) обозначена векторная функция указанных
аргументов, в общем случае нелинейная.
В силу того, что функция F является затухающей функцией t при
фиксированном т, и ядро w(t, т) будет затухающей функцией, w(t, т) -- 0
при t-¦* оо. Если w(t, т) представляет собой весовую функцию устойчивой
физически возможной линейной системы, то согласно п. 1.2.4 w(t, т)
удовлетворяет условиям (13) и (12):
w (t, т) = 0 при t > т,
00
^ | wkh (t, т) | dx < оо (k = 1, .... т; h= 1, . . ., п). (78)
70
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Здесь т - размерность вектора и, а л -размерность векторной функции ф.
Если, кроме того, w(t, т) является весовой функцией линейной
дифференциальной системы
