Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
заменить вектор z в полиноме a(z, t) оператором дифференцирования дЦдк и
полученный в результате линейный дифференциальный оператор применить к
функции gy (Я; /), рассматриваемой как функция к. Иными словами, каждый
одночлен z\l...zkpp полинома а (2, t) следует заменить соответствующим
оператором (д/1дк1)к'-.. .(дЦдкр)кр. М
Ясно, что (58) представляет собой линейное однородное уравнение в частных
производных относительно gy, порядок которого равен степени полинома а
(г, t).
Совершенно так же уравнение для /г-мерной характеристической функции
перепишется в этом случае в виде
Это уравнение отличается от (58) только обозначениями.
5.3.9. Случай полиномиальной правой части и нормального белого шума.
Уравнения (38) и (41), определяющие конечномерные характеристические
функции процесса Z(t), приводятся к линейному уравнению в частных
производных и в том случае, когда функции a(z, t) и b(z, t) в
стохастическом дифференциальном уравнении (32) обе представляют собой
полиномы относительно 2, если белый шум V распределен нормально (т. е.
является производной винеровского процесса). В этом случае уравнение (38)
на основании формулы (52) для функции % (р; t) имеет вид
Если a(z, t) и b(z, t) - полиномы относительно 2, то, как было показано в
п. 5.3.8, вектор Z под знаком математического ожидания можно заменить
оператором d/d(ik) вне знака математического ожидания. В результате
получим уравнение
К этому же уравнению приводится в этом случае и уравнение (41) для n-
мерной характеристической функции gn с заменой gy, к и t соответственно
на gn, кп и tn.
Ясно, что (59) представляет собой линейное однородное уравнение в частных
производных порядка шах(Р, 2Q), где Р-степень полинома а (2, t)t Q-
степень полинома b(z, t).
dgip 0i = M J t) - ~k! b(Z, t) v(t) b(Z, tyk^el^z
T
.304 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Пример 13. В случае уравнения
Z = ~Z3+ZV
уравнение (59) имеет вид
dgi , d3?i , 1 ,, д-g! dt - дк3 1 2 дк* '
Пример 14. Для уравнений
z1 = -zfz2, Z2 = Z1Z2 + Z1V
уравнение (59) имеет вид
dgl -1 d3g' n d*gl
dt 1 аА?ал2 " 2 " 2 ** d)* •
Интегрирование уравнения в частных производных (58) или (59) в общем
случае представляет собой сложную задачу. Практически ее приходится
решать в основном приближенными методами численного интегрирования. И
лишь в частном случае линейного уравнения (32) уравнение (58)
представляет собой уравнение в частных производных первого порядка,
которое легко интегрируется стандартным методом.
Заметим еще, что уравнения (38) и (41) в случае нормально распределенного
белого шума сводятся к линейному уравнению в частных производных (59) и в
том случае, когда функция а (г, t) является полиномом относительно z, a
b(z, t) не является полиномом, если функция b(z, t)\b(z, ty представляет
собой полином относительно г.
Пример 15. Рассмотрим RC-цепочку (рис. 2), находящуюся под дей-ствием
входного напряжения, представляющего собой нормально распределенный белый
шум V (например, дробовой эффект; см. пример 2.81. В примере 1.3 было
получено дифференциальное уравнение этой цепи:
TU + U = V, Т - RC,
связывающее выходное напряжение U со входным V. Примем за переменную
состояния цепи Z ее выходную мощность, т. е. мощность в цепи нагрузки,
сопротивление которой R" очень велико по сравнению с R (см. [57], §4.1),
Z=?/2/7?H. Чтобы получить стохастическое дифференциальное уравнение,
определяющее мощность выходного шума Z, применим Формулу Ито (3.61). В
результате получим
dZ = 2U dU/R4 + \' dt = (2U/R") (dW - U dt)/T + di =
2U2/R"T-\-1) dt+ (21' . . T) dW
или
Z = aZ-f a^ + bVz V, где a = -2/T, a0=l, b =-2/TVTv*).
*) Выходное напряжение цепи U может быть как положительным, так и
отрицательным. Однако вследствие того, что белые шумы V и -Г имеют одни и
те же вероятностные характеристики, замена U на | U | не приводит к
изменению конечномерных распределений решения стохастического
дифференциального уравнения.
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ з05
В данном случае о (г, г)--=аг + а0, Ъ (г, t)~bV г и уравнение (59) имеет
вид [68]
^ = Я [ a^\ib^x)^--: ia0Xgl.
Это линейное уравнение в частных производных первого порядка легко
интегрируется стандартным методом (см. п. 5.4.2).
5.3.10. Системы со случайно изменяющейся структурой. Рассмотрим
систему со случайно изменяющейся структурой, которая в каждой структуре
описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито
Z = a(Z, sk, t) -г- b (Z, sk, t)V (&= 1, . .., N),
где Sj, ..., sN¦-возможные значения ступенчатого случайного процесса
S(^), описывающего случайные изменения структуры системы. Сначала
рассмотрим случай, когда переходы системы от одной структуры к другой
образуют пуассоновские потоки событий. Обозначим пуассоновский процесс
переходов в k-ю струк-туру через Pk(t), а его интенсивность через vfc(Z,
S, t), имея в виду, что она зависит от случайного значения процесса S, от
которого он переходит к значению sh, и может зависеть также от состояния
