Отрывные течения. Том 3 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА XII
омываемой поверхности. Так как для плоской пластины
Q = b j { - v0(x)}dx
и А = bl, причем I - длина, b - ширина пластины, то i
= j { - vQ(x)}dx. о
При равномерном отсосе v0 - const и
Cq - - Vq/u оо.
Общие уравнения ламинарного пограничного слоя
ди . dv ___j-.
дх ду
(1)
(2)
(3)
(4)
8/в*
Фиг. 14. Плоская пластина с рав- Фиг. 15. Распределение скорости в
номерным отсосом при нулевом угле пограничном слое на пластине
при
атаки [33].
нулевом угле атаки [33].
1 - равномерный отсос, асимптотический
профиль; 2-без отсоса, профиль Блазиуса.
ди , ди 1 др , дги
u-dT+v^i=-7i7+viF с граничными условиями
у = 0, и = 0, v = v0 (х),
у = оо, и = ие
и на стенке
ди
(5)
У=О
(для ламинарного течения)
имеют частное решение, в котором скорость не зависит от расстояния х.
Считая ди/дх = 0, из уравнения неразрывности получаем
v (х, у) = v0 = const,
УПРАВЛЕНИЕ ОТРЫВОМ ПОТОКА
215
а уравнение количества движения принимает вид
ди дги
v*lf = vW'
его решение
и (у) = (1 - exp (v0y/v)}.
(6)
Толщины вытеснения и потери импульса, а также напряжение трения на
стенке равны соответственно
6*= (-Оо) ' 0 = Т (-v0) ' Тш = Р( -
или
Соо = Т7^т- = 2 (---) -2Cq,
V "оо /
т. е. напряжение трения не зависит от вязкости.
Фиг. 16. Линии тока при обтекании пластины с равномерным отсосом [33].
На фиг. 15 профиль скорости, вычисленный по формуле (6), сравнивается
с профилем Блазиуса, соответствующим течению без отсоса.
Вследствие отсоса скорость у стенки увеличивается, благодаря чему
повышается способность течения преодолевать положительный градиент
давления. Профиль скорости, определенный по формуле (6), асимптотически
достигается на расстоянии, приблизительно равном [34]
= 4 или 2. (34)
Поэтому этот профиль называется асимптотическим профилем пограничного
слоя с отсосом на произвольном цилиндрическом теле [35].
Картина линий тока при отсосе представлена на фиг. 16.
216
ГЛАВА XII
Общее решение для отсоса по произвольному закону
Для общего случая отсоса по произвольному закону на теле произвольной
формы можно получить приближенное решение с помощью интегрального
уравнения количества движения
"J-g + (20 + a*)Ue *?-Voue = ^-. (7)
Прандтль [36] оценил скорость отсоса, необходимую для предотвращения
отрыва, в предположении, что профиль скорости на всей длине такой же, как
и в точке отрыва, в которой
ди
= 0, "=0
что соответствует параметру Польгаузена v ах
Задавая профиль скорости в виде
--{• (*)¦-*(*)*+" (ДО <8>
и учитывая, что 8*/8 = (8/ю) - Q/120 = 2/5, и следовательно,
9/6 = 4/з5,
приведем уравнение количества движения к виду 6* + 20 = -|-6.
Если эту величину подставить в уравнение (8) и предположить, что толщина
пограничного слоя постоянна или dQ/dx =0, то
22 с dUo /с\\
v*=Hbbi?- <9>
Из уравнения (5) при у - 0
<'°>
Так как
ди
~ЩР
п д*и I л о ие
" = 0 И -т-2- = 12-*§-,
у-0 ду* у=о о2
то из уравнения (10) имеем
<и>
УПРАВЛЕНИЕ ОТРЫВОМ ПОТОКА
217
Из уравнений (9) и (11) получаем скорость отсоса, необходимую для
предотвращения отрыва
(12)
Так как для кругового цилиндра радиусом R
due "
dx ~ R '
то из уравнения (12) находим следующее выражение для коэффициента
объемного расхода, необходимого для предотвращения отрыва,
Cq уГ^- = 2,18 j/2 = 3,08.
Упомянем следующие аналитические решения задачи отсоса. Применяя
интегральное уравнение количества движения и метод, подобный методу
Кармана - Польгаузена, Шлихтинг [37, 381 разработал метод расчета
пограничного слоя на теле произвольной формы с произвольной скоростью
отсоса v0 (х), а Торда [39г 40] усовершенствовал этот метод. Хед [41]
рассмотрел различные приближенные решения уравнений двумерного
пограничного слоя с отсосом при дозвуковых скоростях и произвольном
распределении давления. Триллинг [42], Твейтс [44] и Ринглеб [45]
исследовали отсос с произвольной скоростью, а Вигардт [46] распространил
расчет на случай осевой симметрии. Трукенбродт-[47] предложил очень
простое решение как для двумерного, так и для осесимметричного течений,
сведя задачу к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка. Строгое решение Гёртлера уравнений ламинарного пограничного
