Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Очень часто правило отбора формулируется как целая совокупность условий, налагаемых на квантовые числа состояний, для которых вычисляется матричный элемент. Так, в последнем примере мы можем учесть, что оператор ? меняет четность состояния. Это дает условие (—l)Zl = — (—I)12. Далее, вычисляя угловую часть интеграла (nilimi\z\n2l2m2) (при этом удобно воспользоваться формулой (Д7.19)), мы видим, что этот интеграл пропорционален коэффициенту Клебша-Гордана (10, h^lh'mi), который отличен от нуля, только если выполнено «правило треугольника» (41.23): li + Ь + 1 = 0 (заметим, что единица 1 входит
Лекция 16
273
в это символическое соотношение как некий момент количества движения, присущий оператору z). Итак, полная совокупность условий, выражающих правила отбора для матричных элементов
(ni/imi|z|n2/2ra2), есть
mi=m2, (-1)'1 = -(-I)'2, li+l2 + l = 0, (53.43)
или, более компактно,
т 1 = m2, h = h =Ь 1- (53.44)
Общую и строгую математическую основу получения правил отбора для всевозможных матричных элементов в квантовой механике дает теория групп. К изложению ее применения в квантовой механике мы и перейдем.
§ 54. Применение теории групп в квантовой механике
В данном параграфе мы познакомимся с основными направлениями применения теории групп в квантовой механике. При этом общие положения абстрактной теории групп будут считаться известными; мы лишь кратко напомним их, вводя нужные нам обозначения.
1. Некоторые общие положения абстрактной теории групп
1. Группой называется конечная или бесконечная совокупность элементов а, Ъ, с,..., удовлетворяющая следующим требованиям:
а) определена операция произведения элементов:
ab = с,
б) среди элементов группы есть единичный элемент Е, определенный соотношениями
Еа — аЕ = а,
в) справедлив ассоциативный закон перемножения элементов группы:
(¦аЪ)с = а(Ьс),
274
Раздел 4
г) каждый элемент группы а имеет обратный а-1: aa~l = a~la = Е.
Примеры.
1) Группа инверсии, состоящая из двух элементов: г (оператор инверсии) и единичного элемента Е, является примером группы второго порядка. Обозначается I.
2) Группа поворотов в 3-мерном пространстве относительно произвольной оси на произвольный угол. Обозначается R3. Содержит бесконечное число элементов; является примером непрерывной группы.
3) Группа поворотов на произвольный угол вокруг фиксированной оси (группа поворотов в плоскости). Обозначается R2.
4) Группа отражений в плоскости — группа второго порядка. Обозначается сг^. Содержит оператор отражения в плоскости <jh и единичный элемент Е.
5) Группа поворотов на угол, кратный 2тг/п (где п — целое число), вокруг фиксированной оси — группа n-го порядка. Обозначается Сп. Элемент группы, представляющий поворот на угол 27гк/п (к — целое число), обозначается С%.
2. Подгруппой называется часть элементов группы, сама образующая группу. Например, группа R2 есть подгруппа группы Rs (обозначаем R2 с R3).
3. Пусть две группы — G и G' — не имеют общих элементов (кроме единичного), и все элементы одной группы (а, 6, с,...) коммутируют с элементами другой (а\ Ь\ с',...). Тогда, очевидно, совокупность элементов аа\ abr. тоже составляет группу, порядок которой равен произведению порядков групп G и Gf. Эта новая группа называется прямым произведением групп G и G' и обозначается G х G'.
Пример: прямое произведение группы инверсии и группы трехмерных вращений. Обозначается О3 = R3 х I.
4. Пусть в некотором линейном пространстве L задано множество операторов Т(д), где д = а, Ъ,...— элементы некоторой группы G. Если выполняется условие
Т(аЪ)=Т(а)Т(Ъ), (54.1)
то Т(д) — представление группы G. Общие свойства представлений групп:
а) Т(Е)=Т, б) Т(а-1) = [Т(а)]~1. (54.2)
Пространство L называется пространством представления Т(д).
Лекция 16
275
5. Если в L есть подпространства, инвариантные для всех Т(д), то представление Т(д) называется приводимым. Пишем:
е
? = $>“, (54.3)
СМ
т. е. пространство L есть прямая сумма таких инвариантных подпространств L(a\ Если L нельзя разложить на инвариантные подпространства, то представление Т(д) называется неприводимым.
6. Совокупность линейно независимых элементов (векто-
/а
ров) принадлежащих инвариантному подпростран-
ству и удовлетворяющих соотношению
V™ = T(g)VM = ? (54.4)
jLt' = l
называется базисом представления, а соответствующие матрицы D^ (g) — матрицами представления. Как видно из (54.4) и (54.1), матрицы представления группы удовлетворяют соотношению
= Е (Ъ), (54.5)
V= 1
т. е. сами образуют представление группы. Число fa называется размерностью представления.
7. Матрицы приводимых представлений имеют квазидиаго-нальный («ящичный») вид:
D(g) =
( ? о\
?
?
\0 ? /
(54.6)
где отличные от нуля элементы находятся в квадратах, каждый из которых соответствует одному неприводимому представлению. Свойство (54.6) записывается также в виде формулы разложения приводимого представления на неприводимые:
0
ОД = $>(а)Я(а)(5). (54.7)
276
Раздел 4
8. Базисные векторы разных неприводимых представлений ортогональны друг другу:
iyW\VW) =Х^6а05^. (54.7а)
