Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Для обозначения стационарных состояний трехмерного гармонического изотропного осциллятора принято использовать вместо пары квантовых чисел (Л, I) символ (1/2(Л — 1) + 1, I): Is, 1 р, 25, Id и т. д. Комбинация квантовых чисел 1 /2(Л—Z) имеет простой смысл: она указывает, в который раз состояние с данным значением I появляется в этой последовательности. При фиксированном Л орбитальное квантовое число I может принимать следующие значения:
{0, 2, 4, ..., Л — 2, Л, если Л четное;
(36.10)
1, 3, 5, ..., Л — 2, Л, если Л нечетное, причем каждому значению I соответствует одно значение п:
п=\(К-1) (36.11)
и 2Z+1 значений магнитного квантового числа т. Нетрудно проверить, что кратность вырождения каждого энергетического уровня есть
iVA = ±(Л + 1)(Л + 2). (36.12)
Радиальные функции имеют вид
Rm(r) = Nnye-VW^F^-n, I + |; (^)2), (36.13)
где
F(—n I + -• + 3/2)—(36 14)
V ’ 2’ VrQ/ / Г(п + г + 3/2) " Кг2/’ ’
Лекция 9
161
Таблица 2. Низшие стационарные состояния трехмерного изотропного гармонического осциллятора.
Л п 1 Символ состояния Rnl(r) na
0 0 0 Is «Ч 2 „Л 1
1 0 1 1 р л/8/3 г ( 1 г2 \ ^/4гЗ/2Г0еЧ 2 rl) 3
2 1 0 2s (г2 3W 1 r2\
f Ч 2) Pl 2 rl) f.
0 2 Id \/l6/15r2 / lr2\ D
Г(х) — гамма-функция, L^(x) — обобщенный полином Лагерра, Nni — нормировочный множитель, определяемый условием нормировки (32.31).
В табл. 2 приведены квантовые числа и радиальные функции Rni (г) низших стационарных состояний осциллятора и указана кратность вырождения N\ каждого энергетического уровня.
Итак, мы видим, что энергетический спектр трехмерного гармонического изотропного осциллятора представляет собой эквидистантную систему уровней с расстоянием между ними hu, при-
о
чем минимальное значение энергии есть Все уровни с А ^ 2
имеют «случайное вырождение» по орбитальному квантовому числу I, которое обусловлено спецификой взаимодействия. Отметим, что в отличие от движения в кулоновском поле здесь каждому собственному значению гамильтониана принадлежат только такие собственные функции, которые имеют одинаковую четность (см. (36.10)). Поэтому любое стационарное состояние осциллятора обладает определенной четностью, которая однозначно определяется энергией состояния:
Р=(-1)л. (36.15)
Теперь рассмотрим задачу о движении гармонического осциллятора в декартовых координатах. Для этого представим по-
162
Раздел 2
тенциальную энергию (36.1) в виде
V(r) = \[ш2{х2 + у2 + z2) (36.16)
и заметим, что при этом гамильтониан системы принимает вид Н = Нх(х) + Ну(у) + Hz(z), (36.17)
ГДС н(х) = -^^ + ^х2
г[ г) 2рдх2+ 2 •’ (36.18)
= {ж, у, z}.
Тогда любое решение стационарного уравнения Шредингера Нф( г) = Еф(г)
представляется в виде
V’O) = фх(х)фу(у)ф2(г), (36.19)
причем каждая функция (Хг) удовлетворяет одномерному урав-
нению
Hi(xi)^i(xi) = Е^(хг), i = 1, 2, 3, (36.20)
^ Е = Е\ Е2 ~\~ Е%. (36.21)
Таким образом, в декартовых координатах наша задача сводится к задаче о линейном гармоническом осцилляторе, которая была рассмотрена в § 11. Используя полученные там результаты, имеем
•фп^ПуП* (X, у, Z) = фПх (х)фПу (у)Фт (z), (36.22)
где 1
'2 -2
(36.23)
ФпЛхг) = (у/п2П{т\го) 1/2Hni(J^)e
г0 = л/н/ри,
Eni = Пи>(щ + 1/2), щ = 0, 1, 2, 3, ...;
Е = ЕПх + ЕПу + EUz = Нел(3/2 -\- Tix -\- Пу -\- nz).
Таким образом, каждое стационарное состояние однозначно определяется тремя квантовыми числами \nXl пу, nz), а его энергия есть
Ял = Йш(л+|), (36.24)
Лекция 9
163
где
Л = пх + riy + nz. (36.25)
Мы видим, что каждому энергетическому уровню Е\ принадлежит столько линейно независимых состояний сколько существует различных троек чисел nXl пу, nz, удовлетворяющих равенству (36.25). Возможные значения этих чисел для Л = 0, 1, 2 представлены в табл. 3.
Таблица 3. Низшие стационарные состояния трехмерного изотропного гармонического осциллятора (декартовы координаты).
Л 0 1 2
0 1 00 200 110
Пу 0 0 1 0 020 10 1
nz 0 00 1 0 02 0 1 1
Na 1 3 6
Нетрудно проверить, что при любом Л кратность вырождения N\ совпадает с той, которая дается формулой (36.12). Поскольку четность полинома Эрмита Нп(?) есть (—1)п, для четно-сти функции г1>Пхпупг (%, У, z) (см. (36.22)) получаем
Р — ^_]_^Пх+Пу+Пх _ ^___^)Л
что совпадает с результатом (36.15), полученным при решении задачи в сферических координатах.
Таким образом, мы нашли два полных ортонормированных набора собственных функций гамильтониана трехмерного гармонического изотропного осциллятора:
1) Фп1т(r) = , (/?),
(36.26)
где Rni(r) дается формулой (36.13);
2) фПхПуПх{х1 у, z) = фПх(х)фПу(у)фПх(г),
(36.27)
где фгн(хг) дается формулой (36.23).
Каждое состояние первого набора (36.26) задается значениями трех физических величин: полной энергии, квадрата момента количества движения и его проекции на ось г. Каждое состояние второго набора (36.27) задается значениями трех квантовых чисел: пХ1 пу, nz. Эти числа определяют энергию состояния (36.24)
164
Раздел 2
и могут рассматриваться как количества квантов колебаний (фононов) с энергией hw вдоль осей х, у, z соответственно. Наборы |nlm) и |nxnynz) дают эквивалентные описания стационарных состояний трехмерного осциллятора, а переход от одного описания к другому осуществляется с помощью унитарного преобразования (см. § 24).
