Алгоритмы развития - Моисеев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В 1744 г. французский математик и физик Мопертьюи обратил внимание на то, что законы Ньютона допускают вариационную формулировку. Другими словами, он показал, что движение, совершающееся по законам Ньютона, обеспечивает экстремальное значение некоторым функционалам. Будучи сыном своего века, он придал этому факту
определенный телеологический смысл. Позднее появилось много других вариационных принципов: принцип наименьшего действия Гаусса, принцип Гамильтона—Остроградского, принцип виртуальных перемещений и т. д. Сначала вариационные принципы были открыты в механике, а затем в электродинамике и в других областях физики. Оказалось, что все основные уравнения, с которыми оперирует физика, определяют траектории, являющиеся экстремалями некоторых функционалов.
Вокруг вариационных принципов развернулись споры. Физиков, математиков н философов (особенно последних) смущало то, что эти принципы можно трактовать в качестве проявлений некоторой высшей целесообразности. Даже в 30-х годах XX в. еще шли дискуссии по поводу вариационных принципов, причем они носили подчас весьма жаркий характер. Однако постепенно эти споры сами собой прекратились. Причиной тому послужило более глубокое изучение природы дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы, и их связи с вариационными принципами. Оказалось, что практически для любого из уравнений, которые описывают законы сохранения, может быть составлен такой функционал (зависящий от фазовых координат системы), что для него эти уравнения являются уравнениями Эйлера. Другими словами, их решения являются экстремалями: на них этот функционал достигает своих экстремальных (или стационарных) значений. Этот чисто математический результат имеет глубокий философский смысл. В самом деле, живи мы в другой Вселенной с другими законами физики, все равно там были бы свои вариационные принципы, а значит, и своя «высшая целесообразность».
Вариационная формулировка законов сохранения — это одно из главных эмпирических обобщений физики. Однако законы сохранения не исчерпывают всех принципов отбора, которые выделяют реальные движения из множества мыслимых. Вместе с тем оказывается, что и другим
законам и ограничениям всегда можно придать оптимизационную формулировку. Особенно просто это сделать, если использовать способы описания, принятые в теории исследования операций12. Пусть, например, движение материальной субстанции ограничено кинематическим условием непроницаемости преграды:
(»я)г = 0.
где vn — скорость частиц субстанции, перпендикулярная Г — некоторой поверхности, ограничивающей область пространства, допустимую для движения. Это условие можно переписать в следующем внде:
w(x) =>min,
где w(x) есть некоторый функционал, зависящий от фазовых переменных х. Его можно задать, например, в такой форме:
_{ + 1. еслн (у«)г т*=0,
w(x) - \ _ 1, если (в„)г =0,
Переформулировка ограничения в вариационной форме, т. е. в форме требования экстремума для некоторого функционала, может быть произведена бесчисленным количеством способов.
К числу принципов отбора, допускающих оптимизационную постановку, относятся также принципы Онсагера и Пригожина.
Таким образом, движение неживой материи мы всегда можем описать в терминах многокритериальной задачи оптимизации:
wit=>min; w^^min', ws=&min ,
где wi — это функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение законов сохранения, w% — функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение кинематических условий, и т. д.
Из математического анализа известно, что одновремен-
ная минимизация нескольких функций (или функционалов) имеет смысл лишь при выполнении некоторых специальных условий. Обозначим через Qi множество экстремальных значений функционала w\. Тогда задача W2=>min будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальное значение функционала wt на множестве Qi и т.д. Таким образом, множество функционалов должно быть упорядоченным, а пересечение множеств Q, минимальных значений функционалов wt — непустым. Тогда требование (+) определит некоторое множество допустимых состояний со. Это множество и является ареной развивающихся событий.
При описании явлений неживой природы функционалы wl действительно всегда ранжированы, причем первое место принадлежит законам сохранения. Различные связи — голономные, неголономные — и любые другие ограничения имеет смысл рассматривать лишь для тех систем, для которых выполнены законы сохранения. Среди всех таких ограничений особое место для открытых систем занимает принцип минимума роста энтропии (минимума диссипации энергии). Он как бы замыкает цепочку принципов отбора: если законы сохранения, кинематические и прочие ограничения еще не выделяют единственной траектории развития системы, то заключительный отбор производит принцип минимума диссипации. Вероятно, именно он играет решающую роль в появлении более или менее устойчивых неравновесных структур.
В рамках описанной схемы можно дать следующую интерпретацию процессов, протекающих в неживой природе. Тенденции к разрушению организации и развитию хаоса, т. е. повышению энтропии, противостоит ряд противоположных тенденций. Это прежде всего законы сохранения. Но не онн одни препятствуют разрушению организации. Принцип минимума диссипации энергии не только отбирает из тех движений, которые допускаются
