Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
<0Л2>
а
Очевидно, что если результат измерения не принимается во внимание, то
состояние Р вообще не изменяется:
П
р (А) 2 р и I В]) р (Bj) = Р (А). (0.13)
/='
16
В квантовой статистике ситуация качественно более сложна. Аналогом
преобразования (0.12) является знаменитый проекционный постулат Дж. фон
Неймана
s-*s^4Si'
<0Л4>
где S оператор плотности состояния перед измерением, a Sj - после
измерения наблюдаемой (0.2), в результате которого получено
значение xs. Основанием для этого постулата служит
феноменологическая гипотеза воспроизводимости, подразумевающая предельную
точность и минимальность возмущения, вносимого измерением наблюдаемой X.
Если результат измерения не принимается во внимание, то состояние S
преобразуется по формуле, аналогичной (0.13):
П П
S -+ 2 Svxs Сxj) = 2 EiSEi
(°-15)
/=i j^i
Однако в общем случае ZEjSE^S; это означает, что изменение
J
состояния в ходе квантового измерения не сводится только к преобразованию
информации и отражает также принципиально неустранимое и необратимое
физическое воздействие измерительного прибора на наблюдаемую систему. С
проекционным постулатом связан целый ряд проблем; не затрагивая вопросов
философского характера, которые выходят за пределы вероятностной
интерпретации, остановимся на конкретных проблемах, которые успешно
решаются в рамках обобщенной статистической модели квантовой механики.
Принципиальную трудность представляет формулировка проекционного
постулата для наблюдаемых с непрерывным спектром. Для описания изменения
состояния при произвольном квантовом измерении Э. Б. Дэвис и Дж. Льюис
(1970) ввели понятие инструмента - меры со значениями в множестве
преобразований квантовых состояний. Этим понятием охватываются и неточные
измерения, не удовлетворяющие условию воспроизводимости, что позволяет
включить и случай непрерывного спектра. С каждым инструментом связано
разложение единицы, причем инструментам, возникающим из проекционного
постулата, отвечают ортогональные разложения единицы. Понятие инструмента
открывает возможность описания статистики любой последовательности
квантовых измерений.
Новое освещение получает вопрос о траекториях, восходящий к
фейнмановской формулировке квантовой механики. Процесс непрерывного (во
времени) измерения квантовой наблюдаемой можно представить как предел
"серий" последовательных неточных измерений. Математическое описание
такого предела обнаруживает замечательные аналогии с классической схемой
суммирования случайных величин, функциональными
2-9280
17
предельными теоремами в теории вероятностей и представлением Леви-Хинчина
для процессов с независимыми приращениями (см. гл. 4).
0.8. Необратимая динамика. Обратимая динамика изолированной квантовой
системы описывается уравнением
S -^UtSUr1; -оо<^<оо, (0.16)
где {?/(} - группа унитарных операторов. Если система является о т к р ы
т о й, т. е. взаимодействует с окружением, то ее эволюция является, как
правило, необратимой. Пример такого необратимого изменения состояния,
обусловленного взаимодействием с измерительным прибором, дается
соотношением (0.15). Наиболее общий вид динамического отображения,
задающего конечную эволюцию открытой системы, включает как (0.16), так и
(0.15):
(0.17)
J
где 2У;-*Уз = 1. Среди всевозможных аффинных преобразований
J
выпуклого множества состояний, отображения (0.17) выделяются специфически
некоммутативным свойством полной положительности, возникшим и играющим
важную роль в современной теории операторных алгебр.
Непрерывная марковская эволюция открытой системы описывается
динамической полугруппой, т. е. полугруппой динамических отображений,
удовлетворяющей определенным условиям непрерывности (см. Э. Б. Дэвис
[78]). Динамические полугруппы являются некоммутативным аналогом
марковских полугрупп в теории вероятностей. В 1976 г. Г. Линдблад и
независимо, в конечномерном случае, В. Горини, А. Коссаков-ский и Э.
Сударшан получили полное описание инфинитези-мального оператора
непрерывной по норме динамической полугруппы. Этот результат, лежащий в
основе многих фактов теории квантовых случайных процессов,
рассматривается в гл. 3.
0.9. Квантовые случайные процессы. Одним из стимулов возникновения
теории квантовых случайных процессов послужила проблема расширения
динамической полугруппы до обратимой динамики "большой системы",
включающей открытую систему и окружение. Возможность такого расширения
