Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
18
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
так что jt(b) продолжается по линейности и непрерывности до
ограниченного линейного оператора jt(b) на Ж, причем \\jt{b) ||^||6||.
Из СКА, СК5, СК6 следует, что jt является "¦-представлением
алгебры 38 при каждом t е Т. Пусть зФ есть С*-алгебра,
порождаемая образами {jt(b): (еГ},
н пусть со - векторное состояние на зФ, такое что со(а) = =<Q, ай>
для любых Тогда по формуле (1.3) Q
является циклическим вектором для зФ в Ж и совокупность {зФ, {jt-
t ?= Т}, со) определяет случайный процесс над 98, причем
выполняется равенство
со (Д (а)* Д (b)) = w (а; Ь)
для любых teT на, belt. Согласно предложению 1.1, процесс
единствен с точностью до эквивалентности. Из построения ясно, что
условие NCK влечет за собой нормальность отображений я ° jt-
1.4. Пусть (зФ, {jt}, со)-случайный процесс над 38. Рассмотрим
группу G, действующую на множестве Т. Процесс называется G-
стационарным, если существует группа унитарных преобразований
{Ug: geG), действующих в ГНС-про- странстве Ж, ассоциированном
с (зФ, со), такая что
5: UgQ = Й и Ugnjt (b) = яjgi (b) Ug
для всех g^G и b е 38. Определим действие G на Т как g(t 1, ..., tn) =
{gt\, ..., gtn). Семейство корреляционных ядер называется G-
инвариантным, если справедливо равенство
5': wgt (a; b) = wt (а; Ь)
для всех g gG, teT, a, be $t.
Предложение 1.4. Случайный процесс является G-стационарным
тогда и только тогда, когда его семейство корреляционных ядер G-
инвариантно.
Доказательство. Условие S' влечет за собой эквивалентность
процессов (зФ, {jt}, со) и (зФ, {jgt}, со), т. е. существование
унитарных преобразований, удовлетворяющих 5 и групповому
свойству, следует из предложения 1.1. Доказательство обратного
утверждения очевидно.
Если процесс G-стационарен, причем G = Т - R и действие R на
R имеет вид s, t-*- s 1, мы будем говорить, что процесс является
стационарным.
1.5. Пусть Sn - группа перестановок п объектов; ее действие на
Тп определяется как t>-s-pt, где p{tx /") =;
Квантовые случайные процессы
19
= (1р( и, /Р (")), и на как b i-^ /?Ь, где р{Ьи ..., Ьп) = - фр(о, Ьр(п)).
Семейство {wp. tsT} корреляционных ядер называется
симметричным, если выполняется равенство ШрНра; рЬ) = шДа; b)
для всех teT, a, belt и ре5Л(t), таких что p(k)<p(l), если k<l и tk
- tp, это семейство называется вполне симметричным, если wpt(pa.;
pb) -tct(a; b) выполняется для всех p<=Sn(t) без ограничений.
Случайный процесс называется вполне симметричным, если
семейство его корреляционных ядер вполне симметрично.
Предложение 1.5. Случайный процесс симметричен тогда и
только тогда, когда алгебры пп{$) и njs{$) в различные моменты
времени коммутируют: [я/Да), njt(b)] = 0 для
всех a, iel, s Ф t; он вполне симметричен тогда и только тогда,
когда при различных временах эти алгебры коммутируют, а алгебры
я/* (Л) при фиксированных t абелевы.
Доказательство. Непосредственная проверка.
Комментарии и дополнительные результаты
1.6. Определение случайного процесса было дано в п. 1.1 с
учетом возможного применения в квантовой теории открытых
систем; оно может рассматриваться как некоммутативная версия
классического случайного процесса в смысле Дуба [1] и Мейера [2].
Классический случайный процесс со значениями в измеримом
пространстве (S,<§) задается семейством {Xt: t е 7} измеримых
функций со значениями в S, определенных на вероятностном
пространстве (2, SF, р); два процесса с одинаковым множеством
значений параметра и со значениями в одном пространстве
называются эквивалентными, если они имеют одинаковые
конечномерные совместные распределения вероятностей:
\1гК ¦¦¦!,-х<"d"<"~ j f,.х" т(r)
2">
для каждой конечной последовательности {[и ..., fn} в множестве
функций, порождающем 1К*-алгебру L°°(S,<D), и для каждого
конечного набора {/], ..., tn} элементов Т. Каждая функция Xt
определяет нормальный, сохраняющий единицу "¦-гомоморфизм jt
из L°°{S,<K) в L°°(2,^") согласно равенству jt(f) - f°Xt для каждого
f^L°°{S,S), вероятностная мера р определяет нормальное состояние
со на L°°(S,^") по
формуле oj(g-)=^g-Jp для любого g ^ Ь°° (2, &~), и ГНС-
представление, индуцированное со, есть факторотображение
20
Л. Аккарди, .4. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
Lco('L,{F) на Lx (2, ST, ц). Таким образом, классический случайный
процесс в смысле Дуба определяет ^'-случайный процесс (зФ,
{/;},<") над абелевой 1Е*-алгеброй причем алгебра бФ также
абелева.
Наоборот, пусть (^/, {/<},<") есть некоторый 1Е*-процесс над
абелевой алгеброй с абелевым представлением n{s4-)\ тогда по
теореме о представлении абелевой 1Г'*-алгебры [14] существуют
измеримое пространство (S,c?) и вероятностное пространство
(Е,^, ц), такие что $ = L°° (S, S') и л(зФ)" = = L°° (2, 9~, ц);
состояние со определяется вероятностной мерой ц, и существует
семейство {Xt: t е Т) измеримых функций Xt: 2->-S, таких что jt(f) =
