Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
опять ясно, что это предположение является сверхупрощением, которое
придется изменить при возникновении каких-либо неприятностей в теории.
Аналогичным примером, предложенным и тщательно изученным Наем [1],
является движение ледника. Можно ожидать, что скорость движения
возрастает с ростом толщины льда, и разумно предположить, что между этими
величинами существует функциональная зависимость.
В хроматографии и других процессах обмена, изучаемых в химической
технологии, также возникает подобная теория. Она формулируется несколько
сложнее. Процесс заключается в том, что жидкость, несущая растворенные
вещества или частицы, или ионы, протекает через неподвижную твердую фазу
и переносимый материал частично адсорбируется этой твердой фазой.
Идеализируя этот процесс, принимают, что течение жидкости происходит с
постоянной скоростью V. Тогда если р,- - плотность материала,
переносимого жидкостью, a ps - плотность адсорбированного вещества, то
Р = Р/ + Ps> Q - 1'Р.о Поэтому закон сохранения (2.11) имеет вид
^•(р/ + р")+-^-№) = о.
Второе соотношение касается скорости адсорбции. Уравнение обмена вида
*jj± = kl(A- Ре) Р/ - hps (В - Р/),
очевидно, является простейшим уравнением, обладающим требуемыми
свойствами. Первый член описывает адсорбцию со скоростью,
пропорциональной количеству вещества в жидкости и ограниченной
количеством уже адсорбированного вещества вплоть до насыщения А. Второй
член описывает обратный переход. (В некоторых процессах второй член
просто пропорционален ps; этим случаям отвечает предел В оо, к2В
конечно.) В равновесном состоянии выражение в правой части этого
уравнения обращается
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
34
в нуль, так что ps является известной функцией от р^. В медленно
изменяющихся условиях при сравнительно больших скоростях реакции кг и к2
в первом приближении все еще можно считать, что это выражение равно нулю
("квазиравновеспое состояние"), так что
, *,Р/
Ps== k.2B+(ki - А,)Щ *
Таким образом, ps - функция р/, следовательно, q - функция р. Когда обмен
становится быстрым, а именно перед опрокидыванием, членом dp Jdt в
уравнении обмена уже нельзя пренебрегать.
В качестве примера другого рода в эту общую схему можно включить понятие
групповой скорости. Как было уже указано в связи с формулой (1.26), для
линейных диспергирующих волн существуют осциллирующие решения с локальным
волновым числом к (х, t) и локальной частотой со (.г, t). В этом случае к
- плотность волн, т. е. число волновых гребней на единицу длины, а со -
расход, т. е. число волновых гребней, проходящих через точку х за единицу
времени. Если предположить, что число волновых гребней в процессе
распространения сохраняется, то имеем дифференциальное уравнение
сохранения
дк . д<в л
~дГ^~д7~~
Кроме того, к и со уже связаны дисперсионным соотношением со = со (к),
откуда
дк , .,. дк г.
!"+<" (*>&Гв0-
Таким образом получено волновое уравнение для распространения изменений
локального волнового числа в волновом пакете, и скоростью этого
распространения является dtofdk, т. е. групповая скорость. Эти идеи будут
рассмотрены со всей полнотой при последующем изучении диспергирующих
воли.
В перечисленных здесь волновых задачах исходят из уравнения сохранения
(2.11), и поэтому используется термин кинематические волны (Лайтхилл и
Уизем [1]) в отличие от обычных звуковых и упругих волн, которые
существенно зависят от того, каким образом из законов динамики
определяется ускорение.
После этого обозрения некоторых физических задач вернемся к изучению
опрокидывания и ударных волн с целью завершения теории. Более подробно
эти физические задачи будут рассматриваться ,в гл. 3.! , , ..
2.3. Ударные волны
35
2.3. Ударные волны
Когда наступает опрокидывание, возникает вопрос о справедливости
предположения q = Q (р) (формула (2.12)), а также предположения о
существовании производных функций р и q, входящих в уравнение (2.11). Но
считая, что предположение о непрерывности справедливо, мы все еще
настаиваем на выполнении закона сохранения (2.10).
Рассмотрим сначала математический вопрос о допустимости разрывов. Что
касается уравнения (2.10), то оно не противоречит наличию разрывов
первого рода функций р и q: все выражения в (2.10) при этом сохраняют
смысл. Накладывает ли уравнение
(2.10) какие-либо ограничения? Для того чтобы ответить на этот
вопрос, предположим наличие разрыва при х = s (t) и выберем хх и х2 так,
что хх > s (t) > х". Предположим, что р и q и их первые производные
непрерывны при хх ^ х > s (t) и при s (t) > > а при х -> s (/)
имеют конечные пределы сверху и снизу.
Тогда уравнение (2.10) можно переписать следующим образом;
S( t) XI
q(x2, t) - q (xx, t) = j р(ж, t)dx + -^- j p (x, t)dx =
X2 Hi)
s(t) -TI
= p (s~, t) s - p (s*, t) s-j- j pt (x, t) dx-\- j Pt (x, t) dx,
X2 S(t)
где p (s~, t), p (s+, t) - предельные значения p (x, t) при x -*¦ s (t)
снизу и сверху соответственно, as = ds/dt. Поскольку р* ограничена
