Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
приняв в (37) постоянную С - 4. Это уравнение, если ввести новое
независимое переменное x-R3, преобразуется к виду
' dz\2
dxj Z 9 •
Интегрируя его, получаем
г3 = (х - А)2 или c3(R) = R~2 (R3 - А)2/к (38)
326
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
В предположении, что деформация радиально-симметрична, имеем
г = r(R)tr, ri = r'(R)er, г 2 = ге6, r3 = rexsin0,
так что по (38)
Ей = г j -Г1 = г'2 (/?) = /?* (Я3 - Л) -4/-\ g" --- r2-r2 = /-2 = (Я3 -
g'33=r3-r3 = /-2Sin20=(/?s -Л)2/з5'П20, gl2 = g-23^g3l- 0. Из первого
соотношения следует, что
г=± Г-^^-=±(^-Л)Ч .) (R3-A)1'
причем удовлетворяются второе и третье (при 0 = ?0) - преобразование
отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (9.22). Принятое
предположение о радиальной симметричности деформации оправдано тем, что
любое решение подлежащей рассмотрению системы уравнений (1.18.12) можег
отличаться от найденного лишь жестким перемещением.
Глава 8
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
§ 1. Равновесие в варьированном напряженном состоянии
Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в
гл. 4, § 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- и актуальной ^-
конфигурациях. Напряженное состояние задавалось или тензором Пиола Р, или
тензором напряжений Коши Т. Уравнения статики в объеме и на поверхности
тела представлялись соотношениями
в и: V-P + p0k = 0, на о: n-P = f^- , (1)
в ЧР>\ V.T + pk = 0, на О: N-T = f. (2)
Частицам среды, находившимся в равновесии под действием сил, массовых к и
поверхностных f, сообщаются в актуальной ^-конфигурации виртуальные
перемещения T\w(qx, q2, q3), ц - малый параметр. Величины в новой ^^-
конфигурации снабжаются крестиком ( )х справа сверху, в частности Rx = R
-f- r)\v - вектор места. Виртуальные перемещения, по их определению
согласующиеся со связями, должны быть подчинены наперед заданным
ограничениям. Например, в несжимаемой среде согласно (1.10.18)
V-w = 0. (3)
На той части поверхности 02 тела, на которой заданы перемещения (6R- 0),
требуется
w = 0. (4)
При задании на всей поверхности О тела поверхностных сил f назначение
вектора w подчинено условию равенства нулю главного момента сил в ^^-
конфигурации, если последняя равновесна. Формулировка этого условия
приводится ниже (см. (21)). Наконец, иногда довольствуются рассмотрением
полей виртуальных перемещений специального вида.
Величина Ф в ^-конфигурации, как условлено выше, в срх-конфигурации
обозначаемая Фх, определяется по гл. 1, § 10 выражением
Фх = ф Г|Ф.
(5)
328
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Включение слагаемого г)Ф обусловлено изменением геометрии ^-конфигурации,
сопровождающимся наложением на поле вектора перемещения u = R - г из v- в
^-конфигурации поля виртуальных перемещений. Но не исключается
возможность внесения в состав Фх величин порядка г), не связанных с ^-
конфигурацией.
Массовая сила к dm в элементарном объеме ^-конфигурации по (5) в '^'^-
конфигурации принимается равной
kx dmx = (к + г)к) dm = к dm -f- г)к dm, kx==k + r)k, (6)
так как dmx~dm по закону сохранения массы. Например, в поле силы тяжести
k^ - i3g, к = 0, а в поле центробежных сил (2.1.6) при неизменившейся
угловой скорости к = -cox(toxw). Далее кх определяется выражением (6), но
не обязательно к - конвективная производная к, так как не исключено
проявление массовых сил, отсутствовавших в ^-конфигурации.
Аналогично рассматриваются поверхностные силы
('UO)x = tdO + r\(tdOY='N-TdO+r\('N>TdOY =
= idO + t]NdO- (Г-f TV• w-VwT• T) = f dO Д- r)N • 0 сЮ
- использовано соотношение (1.10.22) и определение (4.5.8) тензора 0.
Приходим к представлению
(idO)x = MO + r]N-&dO + MxdO (7)
- слагаемым r|fx учитываются поверхностные силы, отсутствовавшие в ^-
конфигурации.
В дальнейшем преимущественно рассматривается "мертвое" нагружение
массовыми и поверхностными силами (см. (4.6.8))
к = 0: кх = к; (fdO)x = fdO = tdo, fx = 0, N-0 = 0. (8)
Будет рассмотрен и случай поверхностного нагружения силами равномерно
распределенного давления f = - pN. По (1.10.19)
(f dO)x = f dO - цр (N dO)x f dO - ppN dO ¦ (E'V • w - VwT)
и при fx = 0
N•0 = - pN-(EV-w -VwT). (9)
Тензор 0, введенный соотношениями (4.5.9), (4.5.8)
0 = Г + T V • w - VwT • Т, (10)
связан с конвективной производной тензора Пиола Р формулой
P=]/-^VrT-0, 0=]/-|lVRT-P (11)
§ ll равновесие в варьированном СОСТОЯНИИ 329
и согласно (5)
рх - Р -- p(vRx)-PUr) Р ( VR + tjVw) - Р (vR) -
= г) Р ( Vw) .
Поэтому, вспомнив определение производной по тензорному аргументу
Р Vw Ро • • VwT (12)
VR
и представление (4.1.4) тензора Пиола через удельную потенциальную
энергию деформации, получаем
Ро =30 0 = -д~\ ГрГтГЧГп = Kpmqn г prmrqrn. (13)
VR VRVR dVplmdVqln В этой формуле Xm - ковариантные компоненты R в
у-базисе,
R = r т1я, VR = г^г"удш, (14)
a j^prnqn_компоненты тензора упругостей Ро , симметричные
VR
по парам индексов (pm), (qri). Следствием этой симметрии является
свойство взаимности
• /0 \ 0 • /0 V 0
