Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Спинорный анализ в искривленном пространстве
Спинорные поля в общей теории относительности рассматривались многими авторами1), причем с трех основных точек зрения (табл. 1). Эти три формализма в принципе эквивалентны и должны, следовательно, во всякой
1J Общий обзор литературы по этому вопросу см. в работе [5]. К приведенному там списку основных работ следует добавить работы [6—8]. Таблица 1
Сравнение трех основных формализмов описания спина в общей теории относительности
Формализм
Число компонент Ip
Общий формализм
Формализм тетраподов
Спиновые матрицы (/=1,2, 3,4)
Зависимость от положения
Соотношение между спиновыми матрицами и метрикой
Преобразования, относительно которых формализм ко-вариантен
Наиболее общая форма второго из этих преобразований
Yi
Имеется
Спиновые матрицы связаны с метрикой соотношениями:
[Yb Yj]+ =
= Zgii
[Si, Sj]+ =
Общие преобразования координат и преобразования подобия
16 параметров
4 комплексных параметра
Yi
Si
Нет
Метрика преобразована к локальной лоренцовой метрике:
dxk = bl dxa>
gik^bf (лоренц.)
Y* = ?Ya I Sk=
Используются спиновые матрицы плоского пространства
Общие преобразования координат и совершенно независимо преобразования Лоренца для дифференциалов dxk тетрапода.
6 вещественных лоренцовых параметров с инверсией или без инверсии пространства или времени, или того и другого. Продолжение табл. J
Формализм Общий формализм Формализм тетраподов
Число компонент -ф 4 2 4 2
Образование Как в тензорном анализе; см. табл. 2 для кова-
ковариант- риантной производной
ных вели-
чин
Сопряжен- г|э* • і • (Эрмитизирующая г|Лу4 . * Г" 4 ^p / s компл. сопр.
ная в смыс- матрица)
ле Паули
функция,
Уравнение YaVC=O SctVa^ = O YaVe^ = O sava\|) = 0
Дирака
для ней-
трино
Лагран- tV7«* ^tSaVaIр
жиан, L
4 -вектор тока, Sh
Формализм тетраподов для уравнения Дирака в сферических координатах для двух простых случаев выбора осей тетрапода
Оси тетрапода параллельны единичным векторам в
направлениях Г, 0, ф, T направлениях Xt у, z, T
Соответствующие матрицы Y у Г = ^expi- ^Yi Y6 = ^ Y(p = r sin 0ф3 YT = ^exp-I-V ^y4 Yr = ^exp-~-^ X X (sin 0 sinq>Yi+ -j- Sin o COS(pY2+ COSOY8) Аналогично для Yq и Уф YT = (^expi-v^Y4 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 385
Продолжение табл. 1
Оси тетрапода параллельны единичным векторам в
направлениях г, Є, Ф, T направлениях Xi у, Zi T
Разделение дираков-ской волновой функции при простом выборе представления матриц у Спинорная волновая функция как функция положения F(r)tm F (г) g (в) G(r)f( 8) Х lG(r)g(o)J Ґ . IEt \ X exp f imjф--J- J Неоднозначна F (г) K1(O) X хехр[/(«,+!) F (г)У,(в) X хехр[' (т'-т)ф-тг] о (Г) Уі(9) X хехр[; Ф-f] G (*¦) У. (в) X Однозначна
реальной задаче давать одинаковые результаты для таких основных физических величин, как собственные значения энергии и плотность энергии-импульса. Мы считаем удобным использовать здесь обобщение формализма В. Фока и Д. Иваненко, предложенное В. Баргманом [8], вследствие его общности. Уравнения в этом формализме кова-риантны по отношению к общим преобразованиям координат и инвариантны при общих, т. е. зависящих от местоположения преобразованиях подобия спиноров. Фундаментальная связь между пространством и спином осуществляется через поле у-матриц, которые в каждой точке пространства удовлетворяют антикоммутационному соотношению
YiYk+ YftYi = Zgifc If
25 Заказ № 738
(1) 386
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
гДе gik — метрический тензор в этой точке и 1 — единичная матрица. Для сигнатуры метрического тензора мы, следуя Паули, принимаем значение (1, 1, 1,—1). Пусть известна зависимость gik от положения. Тогда можно развить общековариантный спинорный формализм при помощи любого поля четырехрядных матриц Yi, которые обладают следующими свойствами: 1) компоненты Yi являются непрерывными функциями координат в пространстве-време-ни; 2) они удовлетворяют соотношению (1); 3) они преобразуются как вектор при преобразованиях координат; 4) при преобразованиях спиноров
(CnHHop)HOiK = S"1 (Спинор)схаР) они подвергаются преобразованию подобия (Yi)hob. = S1 (Уі)стар. S-
Рассмотрение заряженных спинорных полей существенно упрощается, если ограничиться вещественными представлениями спиновых матриц yk, и спинорными преобразованиями Si матричные элементы которых также являются вещественными величинами.
Основной особенностью математического аппарата является определение ковариантного дифференцирования, которое представляет собой естественное обобщение ковариантного дифференцирования в тензорном анализе (табл. 2). В дополнение к обычным символам Кристоффеля образуемым из gift, необходимо ввести четыре четырехрядные матрицы Tk. Эти величины определены с точностью до аддитивной величины, кратной единичной матрице, соотношением
1?-?-^ +Yirft = O. (2)
Величины Tik и Tk вместе дают возможность определить ковариантную производную любой величины, для которой известны трансформационные свойства при общих преобразованиях координат и общих преобразованиях подобия. Эта ковариантная производная обозначается символом Vft; его явная форма зависит от той величины, на которую он действует (см. табл. 2). Это ковариантное дифференциро- Таблица 2
