Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
гомоклиническую точку вблизи fk(po). Следовательно, существует такая
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
409
степень fl отображения /м, которая обладает подковой в малой окрестности
отрезка многообразия VTs(0) между точками 0 и /^(ро). В частности, имеет
орбиты, для которых символические последовательности из этой подковы
периодичны и имеют блоки длины т + п вида 10 ... 0 1... 0 для
произвольных т, п, где 1 и 0 - символы, соответствующие некоторому
разбиению Маркова, как в разделах 5.1-5.2. Мы докажем, что /д не имеет
таких периодических орбит, следовательно, бифуркации типа "седло-узел"
для периодических орбит происходят между значениями р = 0ир = р1<0.
Поскольку отображение /,, линейно в выбранной координатной окрестности V,
точка (х, у), стартующая вблизи от /^(ро) и остающаяся на некотором
уровне ниже уо ровно для г итераций, должна удовлетворять неравенствам
А~г+1уо ^ У < ^~гУо- Тогда точка f^(x,y) имеет абсциссу, приблизительно
равную хорг. Отсюда следует существование нижней границы для ординат
точек f^+r(x, у), которая пропорциональна рг. Значит, если п велико по
сравнению с ш, то отображение /д не имеет периодических орбит,
начинающихся вблизи от /д (ро), остающихся близких к нулю в течение ш
итераций, затем вновь перескакивающих в окрестность /о (ро), остающихся
близкими к нулю в течение п итераций и затем возвращающихся в исходную
точку.
Отсюда следует, что существует некоторая последовательность бифуркаций
периодических орбит, сходящаяся к нулю слева. В терминологии Гаврилова и
Шильникова [1973], мы доказали, что рассматриваемый здесь тип
гомоклинического касания недоступен с обеих сторон. (Гаврилов и Шильников
[1973] в явной форме представили бифуркации седло-узел
410
Глава 6
для семейства отображений вида /^+т о /^+", где /^+г выражается формулой
(6.6.7).) Бифуркация гомоклиническото касания сама оказывается вложенной
в бесконечное множество бифуркаций, и ее нельзя рассматривать как
начальный шаг к рождению странного аттрактора из структурно устойчивого
диффеоморфизма Морса-Смейла. Тем не менее, кто-то может захотеть иметь
возможность, начав с простого диффеоморфизма (скажем, имеющего
единственную глобально устойчивую неподвижную точку), проследить за
последовательностью бифуркаций, приводящих к усложнению динамики и в
конечном итоге к хаосу. Такой процесс был бы аналогичен многочисленным
экспериментам, в которых был обнаружен переход к хаосу. Описанная выше
теория свидетельствует о том, что гомоклиническое касание рассмотренного
нами типа не является разумным кандидатом в бифуркации, сопутствующие
этому переходу. Однако такие бифуркации наверняка встречаются внутри
хаотических режимов, и мы уже видели важную роль, которую играют
трансверсальные гомоклинические точки. Поэтому мы продолжим рассматривать
последствия гомоклинических касаний более подробно в следующем разделе.
6.7. Дикие гиперболические множества
Newhouse доказал [1974, 1979, 1980], что в дополнение к бифуркациям,
описанным Гавриловым и Шильниковым, существует гораздо более тонкое и
сложное динамическое поведение, ассоциированное с гомоклиническим
касанием. В данном разделе мы опишем сущность этих теорем Newhouse и
укажем, как они позволяют отбросить сомнения в существовании странных
аттракторов у отображений плоскости, близких к отображениям с
гомоклиническим касанием. Доказательства имеют технический характер,
здесь они только намечены. Тем не менее, важным следствием этих
результатов являются примеры диффеоморфизмов, имеющих бесконечные
множества устойчивых периодических орбит с большими периодами. Более
того, такие диффеоморфизмы являются остатком от вычитания открытых
множеств С2-диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизмам с гомоклиническим
касанием. Поэтому можно ожидать их появления в типичных семействах (таких
как рассмотренное в предыдущем разделе).
Покажем сначала, что определенные типы касания обладают устойчивостью.
Пусть Л - нуль-мерное гиперболическое инвариантное множество на
плоскости. Устойчивое и неустойчивое многообразия VFS(A) и Wu(А) локально
являются произведениями некоторого канторова множества и интервала
(вспомните пример подковы из раздела 5.1). Нас интересуют условия,
гарантирующие существование точки касания между двумя сегментами этих
множеств (см. рисунок 6.7.1). Заметим, что отсюда следует существо-
6.7. Дикие гиперболические множества
411
Рис. 6.7.1. Касание устойчивых и неустойчивых многообразий
гиперболического множества.
вание некоторой гетероклинической орбиты, содержащей точки, лежащие вне
Л, и соединяющей две орбиты {/"(х)}, {/"(у)} (не обязательно
периодические) из Л, но не обязательно гомоклинической орбитой.
Если считать 1Е"(Л) некоторым канторовым множеством, состоящим из
горизонтальных прямых, то вопрос состоит в том, имеет ли некоторая кривая
в IVs (Л) точку горизонтального касания, содержащуюся в Wu(k). С наивной
точки зрения может показаться, что если это так, то при небольшом