Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Многообразие с границей — это хаусдорфово топологическое пространство М, имеющее точки двух типов, причем точки первого типа (внутренние) принадлежат окрестностям, которые гомеоморфно отображаются на открытые подмножества пространства К", а точки второго типа образуют границу многообразия и принадлежат окрестностям, гомеоморфным окрестностям ноля пространства
М" = {t\l?,... ,tn\tn > 0}.
Пример 1. Пространство R" является тривиальным примером многообразия. Координатное отображение является тождественным отображением.
Пример 2. Произвольное векторное пространство V является многообразием. Фиксация базиса (ei, ег,... , е„} задает координат-
п
ное отображение: х = J2 v'ei а следовательно, и структуру
i=l
гладкого многообразия на V.
Пример 3. Сфера 5" в пространстве Rn+1 задается алгебраическим уравнением
Sn = {х Є Rn+l \xl +х% + ... + = 1}.
Открытая область Ui = {x Є 5" | x„+i > —1} и стереографическая ПрОеКЦИЯ x {?'(1)} = (:с«/(1 +Жп+і)} с точки x0 = (0,0,... , — 1) § 1. Элементы, анализа на многообразиях
117
на подпространство Rn = (х Є Rn+11 2:,,+1 = 0} образуют локальную карту на 5". Другая локальная карта — это область U2 = = {х Є S" I хп+і < 1} и стереографическая проекция с точки х(> = = (0,0,... , 1). Очевидно, что эти карты аналитически согласованы.
Пример 4. Лист Мебиуса является примером неориентированного многообразия с границей. Рассмотрим прямоугольник П на плоскости R2: П = ((2:1,2:2) Є R2 | |xi| ^ а, \х2\ ^ 1}, и отождествим точки (а,х2) и (—а,—х2). Полученное многообразие с границей локально устроено как произведение окружности на отрезок, но направление отрезка меняется на противоположное при обходе окружности на полный оборот. Лист Мебиуса не ориентирован, поскольку две допустимые локальные координатные системы Ifi1: X (а, 2:2} и (fi2 : х H> (а', X2}, где а и а' — угловые переменные на окружности, согласованы так, что а' = а — 7г, х'2 = —х2 и поэтому определитель матрицы перехода от координат {0,2:2} к координатам {а\х'2} равен —1:
(?- о>1 А 4 оа т
det Q і = —1.
0 р-\ OX 2 /
1.2. Дифференцируемые отображения. Рассматривая наборы из т вещественных дифференцируемых (аналитических) функций, заданных на открытых множествах пространства Kn, приходим к понятию дифференцируемого (аналитического) отображения из пространства Kn в Km. Это понятие легко обобщается на отображения одного многообразия в другое.
Пусть MnN — дифференцируемые многообразия размерностей пит соответственно, а Ф — отображение многообразия M в многообразие N (N может совпадать с М). Будем называть Ф дифференцируемым (аналитическим) отображением в окрестности точки Xq є М, если его представители в локальных картах, то есть функции (Ф1, Ф2,... , Ф"1} = = гроФо(р~г, задают дифференцируемое (аналитическое) отображение из пространства К" в пространство Km. При этом имеется в виду, что локальная карта (U,tp) обслуживает область определения отображения Ф, а карта (V,ip) — область значений на многообразии N. 118
Глава 1
Отображение Ф будем называть дифференцируемым (аналитическим) в некоторой области U С М, если оно дифференцируемо (аналитично) в окрестности каждой точки х є UG М. К отдельному случаю дифференцируемого отображения приводят вещественные функции на многообразии, то есть отображения /: M -» М, для которых локальные представители
f(<p-\t\t\... ,П) = hu,V){t\t\... ,tn)
являются дифференцируемыми функциями многих переменных во всех картах (U, ф) максимального атласа на М.
Пространство к раз дифференцируемых функций на M обозначают через Ck(M), к = 1,2,... ,со. Через Cw(M) обозначают пространство вещественных аналитических функций. Иногда используют обозначение Cjj(M) = Ck(U) для подпространства функции из Ck(M), суженных на подмножество и С м.
В линейных пространствах Ck(M) (и в Cw(M)) можно ввести различные алгебраические операции. Простейшая из них операция умножения функций превращает эти пространства в коммутативные ассоциативные алгебры.
Дифференцируемое отображение называют диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение дифференцируемо. Если для многообразий M vi N такое отображение существует, то мы называет их диффеоморфными и пишем M ~ iV.
Локальной характеристикой гладкого отображения Ф является матрица, в которой на пересечении і-й строки и j-го
столбца стоит производная . Она называется матрицей Якоби гладкого отображения. Если п = т, то определитель этой матрицы называют якобианом. Если квадратная матрица Якоби невырождена в некоторой точке X0 ? М, то верна теорема об обратной функции, которую можно найти в стандартных курсах анализа функций многих переменных.
1.3. Касательные векторы. Касательное расслоение. Понятие касательного вектора — одно из наиболее важных в теории гладких многообразий и дифференциальной геометрии. Интуитивно оно возникает при рассмотрении кривой § 1. Элементы, анализа на многообразиях
119
на многообразии, проходящей через фиксированную точку, если учитывать только точки кривой, лежащие в непосредственной близости от этой точки.
