Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
единице, то их скалярное произведение будет по абсолютной величине больше
единицы. Другими словами, из условий
grA*A'= 1; g^B" = 1 (37.45)
вытекает
\g^B>\>l. (37.46)
Докажем это. Условие (37.45) для вектора Аи- может быть написано в виде
где мы положили Аналогично
'• (37-47)
или короче
Л-(А^ - ааА*А*= 1, (37.48)
goo
= (37.49)
== ±- (В"Т- - ааВ*В* = 1. (37.50)
С другой стороны, скалярное произведение А^В^- равно
А ВР-а^-АьВа - aikA*BK (37.51)
r goo
В силу установленных в § 35 неравенств для величины aik будут
коэффициентами определенной положительной квадратичной формы. Поэтому
будет
| aikAW | < 1ГалА*А* ¦ V aikBW (37.52)
и если мы положим
А - УааА*А*; В = УaikBiBJc, (37.53)
мы будем иметь
ш = У^ут+А*-, |я0| = уу^угут,
| аъА*В* | < АВ. (37.54)
166
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
и, следовательно,
|^№|>/ 1+^/ 1+Я3 - ЛД>1, (37.55)
что и требовалось доказать.
Заметим, что справедливое для временно-подобных векторов неравенство
(37.46), написанное в виде
| g^B> I > (37.56)
аналогично (37.52), но имеет обратный знак, что происходит из-за
индефинитности метрики.
Для временно-подобного вектора обе нулевые составляющие (кова-риантная и
контравариантная) всегда имеют один и тот же знак. Предполагая, что А0 >
0 и В0 > 0 (и, следовательно, Л°>0 и 5°>0), мы можем формулу (37.56)
написать в виде
АД*> / АЙ* ¦ VBJ&. (37.57)
В заключение этого параграфа рассмотрим понятие псевдо-тензора в общем
тензорном анализе. В § 22 мы ввели совокупность величин 8,
антисимметричных относительно всех своих значков, причем (r)ог-дн = 1 - Эти
величины удовлетворяют соотношению (22.02), которое мы, в несколько
измененных обозначениях, напишем в виде
дх'а дх'р дх* дх[ °afrrs дх,, дх,. дх. дх.
1- = Dz.ne, (37.58)
где D есть якобиан*) (35.11). С другой стороны, пользуясь правилом
умножения определителей, нетрудно доказать формулу
Det = D2 Det (37.59)
представляющую обобщение формулы (35.18).
Переписав эту формулу в виде
g=DY (37.60)
и извлекая после изменения знака положительный квадратный корень, получим
1/'ЗГД=|73| (37.61)
Это дает нам закон преобразования определителя g. Умножим теперь обе
части (37.58) на |/ - g' и положим
= l/" (37.62)
е1№ = V -g%h(37.63)
¦, В формуле (22.02) через D был обозначен якобиан обратной подстановки.
§ 37] ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 167
Мы можем тогда написать формулу (37.58) в виде , дх' dxi дх' дх
= ^"°- Е>->- <37-64>
где sgnD = Ttl есть знак якобиана D. Эта формула показывает, что для
преобразований с положительным якобианом величины преобразуются, как
ковариантный тензор четвертого ранга, а для преобразований с
отрицательным якобианом закон их преобразования отличается лишь знаком от
закона преобразования такого тензора. Такую совокупность величин мы будем
называть антисимметричным псевдо-тензором. Соответствующий
контравариантный псевдо-тензор получится по общей формуле
Е= V^gg^g^g^\hb (37.65)
и будет равен
J_
Y-g'
?1"pa = _ __. (37.66)
Антисимметричный псевдо-тензор четвертого ранга позволяет сопоставлять
всякому антисимметричному тензору второго ранга Ayj дуальный псевдо-
тензор
= j (37.67)
и всякому антисимметричному тензору третьего ранга Л^.(8-дуальный псевдо-
вектор
А* = j E"№A?lS. (37.68)
Если антисимметричный тензор составлен из трех векторов а Ср по формуле
Ah 5 = аффъ + афьс? + аьЬ$с% - аф?сь - афлс1 - аф^, (37.69) то дуальный
псевдо-вектор будет иметь составляющие
168 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. III
пропорциональные минорам (алгебраическим дополнениям) элементов $о> ?i>
'3 определителя
Д =
(37.71)
^0 ^1 ^2 ^8 а0 "I а2 аа
Ь, Ь-2 ьй
Со С1 Со Сд
Очевидно, будет
Лх = 0; >*" = 0; i*ce = 0, (37.72)
*
так что псевдо-вектор Аа будет перпендикулярен каждому из векто-
*
ров ал, Ьл, с". Такой псевдо-вектор Аа можно назвать векторным : трех
векторов ал, Ьа, са.
§ 38. Уравнения геодезической линии
Рассмотрим две точки-мгновения, соответствующие последовательным
событиям. Координаты их обозначим через х[х> и х{хК Пусть
материальная точка движется по некоторой кривой так, что при
х0=Хо> ее пространственные координаты равны хк=хк\ а при
ха = *(>3) ее пространственные координаты равны хк - хк\
Так как события х^> и х^ предполагаются последовательными, то такое
движение возможно со скоростью, меньшей скорости света. Время х0 и
соответствующие ему пространственные координаты хк материальной точки
можно выразить параметрически через некоторый вспомогательный параметр р,
положив
х*=<?а(р), (38.01)
причем должно быть
д-го __ <р(а) ^). х(2) __ ,^0! (р^. (38.02)
Так как движение происходит со скоростью, меньшей скорости света, то для
всякого бесконечно малого интервала мы должны иметь
ds2 = g'a'i'p'V dp > 0, (38.03)
где точками обозначены производные по параметру р. Обозначив через s = а
конечный интервал между последовательными событиями, пропорциональный
промежутку собственного времени т, мы будем иметь:
Рг _________
s = CT = J Vg^ytydp. (38.04)
Pi
УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЛИНИИ
