Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
результат вычислений с конфигурацией возникающего пузыря.
В качестве решения уравнения (24) можно взять сферически-симметричное
инстантонное решение с центром в точке т = х == 0, описанное, например, в
[30]. В силу сферической симметрии тогда
будет ф (0, х) = 0. Удовлетворяются также и граничные условия
{25), так как на таком решении при т = -со ф (х) = Ои ф(х) = 0. Из
уравнения (26) и сформулированных утверждений относительно решения
уравнения (24) мы получим тогда, что коэффициент подбарьерного
прохождения равен
- 00
-fiML + у(ф)]}яехр {-4г}. (28)
Величина Г, как уже было сказано, пропорциональна найденному жоэффициенту
подбарьерного прохождения и, разумеется, объему
846 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А, Д.
системы Q - чем больше объем, тем раньше в нем найдется область Q', в
которой || ф ||q' заметно отлична от нуля - произошло туннелирование:
Г =у?>е л .
Вычисление предэкспоненциального множителя у, который, очевидно, имеет
размерность Zr4, является трудным делом и не будет здесь производиться.
Величину Г можно вычислить также с помощью функционального интеграла
[30], при этом, разумеется, получится тот же ответ (28). При
использовании функционального интеграла величина SE появляется как
евклидово действие на решении евклидовых уравнений движения - инстантоне
ф (т, х). Уместно заметить, что переход к мнимому времени [30] не есть
описание динамики поля под барьером. Это лишь формальный способ
вычисления величины Г с вполне определенным заранее физическим смыслом.
Рассмотрим частный случай эффективного потенциала
F(cp) = F(0)-^|i-. (29)
Уравнение движения (27) в этом случае имеет известное решение (называемое
инстантоном Фубини):
<р(т, x) = |/-*-jJ^!-, (30)
где р2 = х2 + т2 == х^, а = 1, . . ., 4; х = (хъ хг, я3), х4 = т, а р0 -
произвольный параметр размерности длины. Евклидово действие (28) не
зависит от р0 и равно
SE = 8я2/ЗХ.
Добавляя массовый член к эффективному потенциалу (29), получаем
Г(ф) = Г(0)+-?-ср*-?<Р4- (31)
Оказывается, евклидовы уравнения движения (27) в этом случае не имеют
нетривиального решения, стремящегося к нулю при х" =
== р2-> оо. В самом деле, допустим обратное: пусть ф (я) есть такое
решение. Это означает равенство нулю вариации действия
bSE = б j dkx [-|- (<?аф)2 + ~ ф2 - ^ ф4] (32)
на конфигурации ф (я). Подвергнем решение ф (х) масштабному
/4#
преобразованию фа (х) - аг1 ф {х/а), тогда
5е [ф<. Ml = J [-^г (•й7ф(т))2 + 1?-^(т)-^г54] =
= J [i- (".?)"- 4- Ф4] +х- "2 J (*)¦ (33)
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 847
Так как ср (х), по предположению, есть решение, то должно выполняться
равенство
dSE [ф0 (x)]/da = О,
что возможно [при ф {х) Ф 0], только если тг - О или а - 0.
Отсутствие решений не означает, что туннелирование становится
невозможным. В самом деле, уже в теории, в которой решения существуют
[например, в теории с эффективным потенциалом (29)], при вычислении
функционального интеграла испольвуются конфигурации ф (х), не являющиеся
решениями - это многоинстантонные конфигурации. Такие конфигурации не
являются стационарными точками действия. Действие 5$} и-инстантонной
конфигурации становится экстремальным (и равным nSв1*) только при
стремлении расстояния между инстантонами к бесконечности. Тем не менее
такие конфигурации учитывают, говоря о "приближенной стационарной точке".
Совершенно аналогичная ситуация и здесь. Действие имеет экстремум на краю
функционального пространства при нулевой ширине конфигурации, т. е. при а
-*¦ 0. Поэтому метод стационарной фазы приводит к тому, что мнимая часть
энергии по-прежнему определяется экспонентой
Г а ехр (-8я2/3Щ. (34)
Более детальное обсуждение этого вопроса см. в [36, 37].
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ, ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ И ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ В
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
Известно, что для описания взаимодействия скалярного поля с
гравитационным в лагранжиане скалярного поля следует заменить обычные
производные ковариантными, а также можно добавить
t (4)
к лагранжиану член Лф2, где - скаляр кривизны, а | -
произвольный коэффициент. Существует два выделенных варианта теории:
теория с ? = 0, называемая теорией с минимальной связью, и теория с | =
1/6, выделенная тем, что при добавлении члена
^2 Лф2 включение гравитации не нарушает свойство конформной
инвариантности теории безмассового скалярного поля. Мы вернемся к
обсуждению этого вопроса в дальнейшем. Для простоты в этом разделе будем
изучать теорию в плоском мире Фридмана с метрикой
dS2 = -dt2 + Л2 (t) (idx2 + dyz + dz2), (35)
которую можно также представить в виде
dS2 = R2 (т]) (-dvf + dx2 + dy2 + dz2),
(36)
848 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
где R - масштабный фактор Вселенной, причем
dt/d'Y\ = R. (37)
Нас будет особенно интересовать расширение Вселенной в случае, тсогда
тензор энергии-импульса сводится к тензору энергии-импульса вакуума g^V
(0). В этом случае Вселенная расширяется экспоненциально:
R (t) = (38)
где Н - постоянная Хаббла,
(4)2 = № = -^Г(°)=-^7(°). (39)
